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1、28.2.2 应用举例第一课时（刘佳）一、教学目标1核心素养:通过解直角三角形应用举例的学习，初步形成基本的运算能力、推理能力、应用意识.2学习目标（1）1.1.1理解仰角、俯角等概念（2）1.1.2能将实际问题抽象成数学问题，并用解直角三角形的方法来解决.（3）1.1.3能利用解直角三角形来灵活求解其他非直角三角形的问题3学习重点熟练运用解直角三角形的方法来解决视角相关的实际问题.4学习难点将实际问题抽象为数学模型二、教学设计（一）课前设计1预习任务任务1 阅读教材P74-P76，思考：什么是仰角、俯角?任务2 阅读教材P74-P76，思考：怎么利用仰角、俯角和解直角三角形的知识解决实际应用
2、问题？2预习自测一、填空题1某人从A看B的仰角为15，则从B看A的俯角为_.答案：15解析：根据平行线的定理，可知答案为15.二、选择题2.如图，已知AC100 m，B30，则B、C两地之间的距离为（ ）A100m B50m C50m D.m答案：A 解析：tanB=tan30=,所以BC=100m，故选A.3如图,为测量某物体AB的高度,在D点测得A点的仰角为30,朝物体AB方向前进16m,到达点C,再次测得点A的仰角为60,则物体AB的高度为（ ）A.8m B. 8m C.16 m D.16m答案：B 解析：设ABx，在RtACB中，tan60=；在RtABD中，tan30=；CDBDBC
3、16， 解得x8 .故答案为：B.（二）课堂设计1知识回顾（1）锐角三角函数：在RtABC中，A、B、C所对的边分别记为a、b、c，若C=90，则 ，cosA ，tanA. （2）勾股定理：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方（3）含30角的直角三角形的三边比为；含45角的直角三角形的三边比为. （4）30、45、60角的三角函数值：，. 2问题探究问题探究一 什么是仰角、俯角？重点知识活动一 结合实际，得出定义思考：平时我们观察物体时，视线相对于水平线来说可有几种情况？（三种，重叠、向上和向下）定义：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角问题探
4、究二 仰角、俯角在解直角三角形中有什么应用？重点知识活动一应用知识，解决问题例1.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30，看这栋高楼底部的俯角为60 ，热气球与高楼的水平距离为66m，这栋高楼有多高？（结果精确到0.1 m，参考数据：1.73）【知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合、转化思想】详解：如图，过点A作，垂足为D 根据题意，可得， 在Rt中，由 得 在Rt中，由 得 答：这栋楼高约为152.2 m点拨：求线段长，往往作高进而将特殊角放到直角三角形中，利用解直角三角形的方法来求解.例2.如图，两建筑物的水平距离为32.6m，从A点测得D点的俯角为3512，测得C点俯
5、角为4324，求这两个建筑物的高(精确到0.1m)【知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合、转化思想】详解：过D作DEAB于点E，则ACB4324，ADE3512，DEBC32.6m.在RtABC中，tanACB，ABBCtanACB32.6tan432430.83(m)在RtADE中，tanADE，AEDEtanADE32.6tan351223.00(m)DCBEABAE30.8323.007.8(m)答：两个建筑物的高分别约为30.8m，23.0m.点拨：构造直角三角形的一般原则是，不破坏已知或所求的角，作高将其放到相应的直角三角形中去，进而把求线段的长转化成解直角三角形的知识.问题探究
6、三 怎样灵活运用解直角三角形的方法解决跟视角相关的问题？重点、难点知识活动一构造一个直角三角形解实际问题例1：太阳能光伏发电因其清洁、安全、便利、高效等特点，已成为世界各国普遍关注和重点发展的新兴产业如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中的粗线表示支撑角钢，太阳能电池板与支撑角钢AB的长度相同，均为300 cm，AB的倾斜角为30，BECA50 cm，支撑角钢CD，EF与底座地基台面接触点分别为D，F，CD垂直于地面，FEAB于点E.两个底座地基高度相同(即点D，F到地面的垂直距离相同)，均为30 cm，点A到地面的垂直距离为50 cm，求支撑角钢CD和EF的长度各是多少厘米(结果保留根号)【
7、知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合、转化思想】详解：如图，过A作AGCD于G，则CAG30，在RtACG中，CGACsin 305025，GD503020，CDCGGD252045，连接FD并延长与BA的延长线交于H，则H30，在RtCDH中，CH2CD90，EHECCHABBEACCH300505090290，在RtEFH中，EFEHtan 30290.答：支撑角钢CD和EF的长度各是45 cm，cm.活动二 构造形如“”的两个直角三角形解实际问题例2如图，“中国海监50”正在南海海域A处巡逻，岛礁B上的中国海军发现点A在点B的正西方向上，岛礁C上的中国海军发现点A在点C的南偏东30方
8、向上，已知点C在点B的北偏西60方向上，且B，C两地相距120海里(1)求出此时点A到岛礁C的距离；(2)若“中国海监50”从A处沿AC方向向岛礁C驶去，当到达点A时，测得点B在A的南偏东75的方向上，求此时“中国海监50”的航行距离(注：结果保留根号)【知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合、转化思想】详解：(1)如图所示，延长BA，过点C作CDBA交BA延长线于点D，由题意可得：CBD30，BC120海里，则DC60海里，故cos 30，解得：AC40，答：点A到岛礁C的距离为40海里；(2)如图所示：过点A作ANBC于点N，可得130，BAA45，ANAE，则215，即BA平分CBA，
9、设AAx，则AEx，故CA2AN2xx，xx40，解得：x20(3)，答：此时“中国海监50”的航行距离为20(3)海里活动三 构造形如“”的两个直角三角形解实际问题例3某兴趣小组借助无人飞机航拍校园如图，无人飞机从A处水平飞行至B处需8 s，在地面C处同一方向上分别测得A处的仰角为75，B处的仰角为30.已知无人飞机的飞行速度为4 m/s，求这架无人飞机的飞行高度(结果保留根号)【知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合、转化思想】详解：如图，作ADBC于D，BH水平线于H，由题意得：ACH75，BCH30，ABCH，ABC30，ACB45，AB32 m，ADCDABsin 3016 m，B
10、DABcos3016m，BCCDBD(1616)m，则BHBCsin 30(88)m.活动四 构造形如“”的两个直角三角形解实际问题例4如图，小刚同学在广场上观测新华书店楼房墙上的电子屏幕CD，点A是小刚的眼睛，测得屏幕下端D处的仰角为30，然后他正对屏幕方向前进了6米到达B处，又测得该屏幕上端C处的仰角为45 ，延长AB与楼房垂直相交于点E，测得BE21米，请你帮小刚求出该屏幕上端与下端之间的距离CD(结果保留根号)【知识点：解直角三角形；数学思想：数形结合、转化思想】详解：CBE45，CEAE，CEBE.CE21米，AEABBE62127(米)在RtADE中，DAE30，DEAEtan 3
11、0279(米)，CDCEDE(219)米即该屏幕上端与下端之间的距离CD为(219)米3课堂总结【知识梳理】（1）在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角.（2）求线段长，往往把线段放到直角三角形中，利用解直角三角形的方法求解.【重难点突破】（1）题中没有直角三角形，或已知直角三角形不可用时，常常作辅助线构造直角三角形.（2）构造直角三角形，常用辅助线为延长或作高，但一般不破坏特殊角或已知角.4随堂检测一、选择题1.如图所示,为测量某物体AB的高度,在D点测得A点的仰角为30,朝物体AB方向前进24 m,到达点C,再次测得点A的仰角为60,则物体AB的高度为
12、（ ）A.12m B.12m C.24m D. 24m答案：A 解析：在直角三角形ADB中,D=30,BD=AB.在直角三角形ABC中,ACB=60,BC=AB.CD=20,CD=BD-BC=AB-AB=24,解得AB=12.【知识点：解直角三角形的应用；数学思想：数形结合】二、填空题2如图，小欣利用有一个锐角是30的三角板测量一棵树的高度，已知她与树之间的水平距离BE为5 m，AB为1.5 m(即小颖的眼睛距地面的距离)，那么这棵树高是_m.答案：+1.5解析：ABBE，DEBE，ADBE，四边形ABED是矩形，BE=5m，AB=1.5m，AD=BE=5m，DE=AB=1.5m，在RtACD
13、中，CAD=30，AD=5m，CD=ADtan30=5=CE=CD+DE=(+1.5)米.【知识点：解直角三角形的应用；数学思想：数形结合】3小婷同学在距某电视塔塔底水平距离300米处，看塔顶的仰角为20(不考虑身高因素)，则此塔高约为_米(结果保留整数，参考数据：sin200.3420，sin700.9397，tan200.3640，tan702.7475)答案：109解析：在RtABC中，AB=300米，BAC=20，=tan20，BC=ACtan20=3000.3640=109（米）【知识点：解直角三角形的应用；数学思想：数形结合】4如图，一条河的两岸l1，l2互相平行，在一次综合实践活动中，小兰去测量这条河的宽度，先在对岸l1上选取一个点A，然后在河岸l2时选择点B，使得AB与河岸垂直，接着沿河岸l2走到点C处，测得BC40米，BCA62，则河宽AB为_米(结果精确到1米)(参考数据：sin620.88，cos620.47，tan621.88)答案：75 解析：在RtABC中，BC=40米，BCA=62，可得tanBCA=，即AB=BCtanBCA=401.8875（米）.【知识点：解直角三角形的应用；数学思想：数形结合】三、解答题5如图，小鑫在教学楼距地面9米高的窗口处，测得正前方旗杆顶部A点
