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1、例谈函数综合题中的“构造法”江苏省姜堰中学 张圣官(225500)“构造法”是一种创造性思维。 在高中数学解题中的应用主要有两类：要么利用条件与结论的特殊性，构造出一个新的辅助结构系统(如函数、方程、图形等)，架起条件与结论之间的桥梁；要么设法直接构造出结论所述的数学对象，从而使问题得以解决。由于函数、 方程、不等式以及导数等内容是高考数学中的热点，与函数问题有关的“构造法”也就顺理成章越来越多地走进了我们的视野。本文准备结合具体事例加以说明。一通过构造辅助函数解题1禾U用辅助函数图像和性质达到解证不等式的目的1先来看这样一道题：已知 2 x - Xm对于(0,1)恒成立，求实数 m的取值范围
2、。你 是否感到束手无策无从下手呢？就让我们将题目改变一种问法再看看吧。1例1已知函数f(x)(x 0且x = 1)xln x(1) 求 f (x)的单调区间；1xm(2) 若2 x 对于(0,1)恒成立，求实数 m的取值范围。解: (1 )由 f(X)二刖=0 得 x = e，易得 f(x)在(0,1)递增，在(1,1)和(1,7)递减；1(2)由 2x - xm得ln2 mlnx，当 x (0,1)时，爲是,根据第(1)题知，f (x)在(0,1)的最大值为fQ)-e，故借 -e= m -eln2。点评：在这道题中我们引进了辅助函数f(x),利用导数作为工具刻画了f(x)的图像和性质(事1x
3、m实上是可以很快作出f(x)的图像的)，从而顺利处理了不等式 2 x。在高考题中，为了降低难度，往往先让我们研究某一函数，再利用之来解后续问题。例 2. (2004 全国卷理科 H)已知函数f (x) = ln(1 + x) x, g( x) = xln x.(I) 求函数f(x)的最大值；a + b(II) 设 0v avb,证明：0v g(a) + g( b) 2g() v ( b a)ln2 .21 解：(I)函数 f(x)的定义域是(-1, g), f (x)= -1 .令 f (x)=0 ,解得 x=0 ,当-1x0 时,0。1十Xa亠b2 2由(I)的结论知In(1+x)-x-1,
4、 且x丰0)，由题设 0a0,当x0时，f(x)- b -a a +ba +b222a a b2a2b又,a lnbln a lna b 2ba b a b2b,a lnln(1 4)b2b2bbln 2b (b a)lna ba - b2b ：:(ba)ln2.综上 0g(a)+g(b)-2g(口 )(b-a)ln2.2证法二：g(x)=xlnx, g(x)=inx 畀，设 f(x)= g(a)+g(x)-2g(-),2则 F(x) =g(x) _2g(筈) =lnx =ln 干.当 0xa时F(x).o,因此F(x)在(a,+ g)上为增函数.从而，当x=a时，F(x)有极小值F(a) +
5、因为 a -|-bF(a)=0,ba,所以 F(b)0,即 0 0 时，h (x) ： 0, h(x)在(0, 二)上为减函数.所以h(x)在x=0处取得极大值，而h(0)=0,所以g (x) ： 0(x = 0)，函数g(x)在(-1：)上为减函数，于是当 -1 x : 0 时，g(x) g(0) =0,当 x0 时，g(x) ： g(0) =0.所以，当 -1：x；：0时，f(x)0, f(x)在(-1 , 0) 上为增函数；当 x 0时,f (x) ： 0, f (x)在(0,：)上为减函数。1 1 11(n)不等式(一)nae等价于不等式(n a)l n(一)乞1.由V - 1知,nn
6、n11ln (1)n-n.设G(x)二1ln(1 x)1,x I：0,1 1,则xG (x)二11(1 x)l n2(1 x)x2十=(1x)l n2(1 x) x2 x2(1 x)l n2(1 x)2由(I)知，In 2(1 x) -丄 _0,即(1 x)l n2(1 x)-x2 乞 0. 1+x所以G(x) 0,a是定义域中的一个数)；当0x0。试问：(1) f(x)的奇偶性如何？( 2) f(x)的单调性如何？(3) f(x)是周期函数吗？分析：由题设知y=tanx可以看作抽象函数f(x)的具体形式，从而猜想：f(x)是奇函数且在 (0,2a)上是增函数(这里把a看作4进行猜想)，且是周
7、期为4a的周期函数。解：(1 ) f(x)的定义域关于原点对称，且轧为-x2)=ff暫,二 f-(X1 -X2) = f(X2 -xj = ff= f(X1 -X2),令 X1-X2=X，则有 f(-x)=-f(x) ，二 f(x)为奇函数。(2) 设 0X1 X22a，贝U 0X2-x 10 , f(xj、f(X2)、f(x 2-x 1)均大于 0,从而由条件得 f(x 1)-f(x 2)0，于是 f(x 1)0 ,那么该函数在（0. a x上是减函数，在a,o）上是增函数;（1）如果函数y=x+2(x0)的值域为6,+ 7 求b的值;x2 c（2） 研究函数y=x22 （常数c0）在定义域
8、内的单调性，并说明理由；x（3）对函数y=x+ 和y=x 2 （常数a0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特xx例，研究推广后的函数的单调性（只需写出结论，不必证明），并求函数111F（x）=（x2）n+（-r x）n （n是正整数）在区间一，2上的最大值和最小值（可利用你XX22的研究结论）2b（ 解：（1）函数 y=x+（x0）的最小值是 2 2b，则 2.2 =6，二 b=log29;x（2） 设 0X1X2, y2 - % = X； 弓-X：=（x； -X；）（12C 2）.x2X1N x2当Vc X1y1,函数y=x2 +弓在4C,+ 上是增函数；X当0X1X24匚时，y20）,
9、其中n是正整数；x当n是奇数时，函数y=xn +丨在（0,呼5上是减函数，在呼,+ a上是增函数，在 x（ a,唧舌上是增函数，在% a ,0）上是减函数；当n是偶数时，函数y=xn 斗 在（0,2n a 上是减函数，在2-na,+ a）上是增函数， X在（ a, 2n a上是减函数，在2n a ,0）上是增函数。由于 F（x）= （x2 丄）n+（A x）nX X= C；（x2n+ 12n）+C：（x2n： + 2l）ril + cn（x2z）+|H+C：（xn+）XXXX1因此F(x)在1 ,1上是减函数，在1,2上是增函数；2所以，当x=l或x=2时，F(x)取得最大值(9)n+(9)n;当x=1时F(x
