充分条件与必要条件

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1、充分条件与必要条件 充分条件与必要条件 教学目标 （1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念； （2）能正确推断是充分条件、必要条件还是充要条件； （3）培育同学的规律思维力量及归纳总结力量； （4）在充要条件的教学中，培育等价转化思想. 教学建议 （一）教材分析 1.学问结构 首先给出推断符号“ ”，并引出的意义，在此基础上叙述了充要条件的初步学问. 2.重点难点分析 本节的重点与难点是关于充要条件的推断. （1）充分但不必要条件、必要但不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件是重要的数学概念，主要用来区分命题的条件 和结论 之间的因果关系. （2）在推断条件 和结论 之间的因果关系

2、中应当： 首先分清条件是什么，结论是什么； 然后尝试用条件推结论，再尝试用结论推条件.推理方法可以是直接证法、间接证法（即反证法），也可以举反例说明其不成立； 最终再指出条件是结论的什么条件. （3）在争论条件 和条件 的关系时，要留意： 若 ，但 ，则 是 的充分但不必要条件； 若 ，但 ，则 是 的必要但不充分条件； 若 ，且 ，则 是 的充要条件； 若 ，且 ，则 是 的充要条件； 若 ，且 ，则 是 的既不充分也不必要条件. （4）若条件 以集合 的形式出现，结论 以集合 的形式出现，则借助集合学问，有助于充要条件的理解和推断. 若 ，则 是 的充分条件； 明显，要使元素 ，只需 就够

3、了.类似地还有： 若 ，则 是 的必要条件； 若 ，则 是 的充要条件； 若 ，且 ，则 是 的既不必要也不充分条件. （5）要证明命题的条件是充要条件，就既要证明原命题成立，又要证明它的逆命题成立.证明原命题即证明条件的充分性，证明逆命题即证明条件的必要性.由于原命题 逆否命题，逆命题 否命题，当我们证明某一命题有困难时，可以证明该命题的逆否命题成立，从而得出原命题成立. （二）教法建议 1.学习充分条件、必要条件和充要条件学问，要留意与前面有关规律初步学问内容相联系.充要条件中的 ， 与四种命题中的 ， 要求是一样的.它们可以是简洁命题，也可以是不能推断真假的语句，也可以是含有规律联结词或

4、“若 则 ”形式的复合命题. 2.由于这节课概念性、理论性较强，一般的教学使同学感到枯燥乏味，为此，激发同学的学习爱好是关键.教学中始终要留意以同学为主，让同学在自我思索、相互沟通中去结概念“下定义”，去体会概念的本质属性. 3.由于“充要条件”与命题的真假、命题的条件与结论的相互关系紧密相关，为此，教学时可以从推断命题的真假入手，来分析命题的条件对于结论来说，是否充分，从而引入“充分条件”的概念，进而引入“必要条件”的概念. 4.教材中对“充分条件”、“必要条件”的定义没有作过多的解释说明，为了让同学能理解定义的合理性，在教学过程中，老师可以从一些熟识的命题的条件与结论之间的关系来熟悉“充分

5、条件”的概念，从互为逆否命题的等价性来引出“必要条件”的概念. 教学设计示例 充要条件 教学目标： （1）正确理解充分条件、必要条件和充要条件的概念； （2）能正确推断是充分条件、必要条件还是充要条件； （3）培育同学的规律思维力量及归纳总结力量； （4）在充要条件的教学中，培育等价转化思想. 教学重点难点：关于充要条件的推断 教学用具：幻灯机或实物投影仪 教学过程设计 1.复习引入 练习：推断下列命题是真命题还是假命题（用幻灯投影）： （1）若 ，则 ； （2）若 ，则 ； （3）全等三角形的面积相等； （4）对角线相互垂直的四边形是菱形； （5）若 ，则 ； （6）若方程 有两个不等的实数

6、解，则 . （同学口答，老师板书.） （1）、（3）、（6）是真命题，（2）、（4）、（5）是假命题. 置疑：对于命题“若 ，则 ”，有时是真命题，有时是假命题.如何推断其真假的？ 答：看 能不能推出 ，假如 能推出 ，则原命题是真命题，否则就是假命题. 对于命题“若 ，则 ”，假如由 经过推理能推出 ，也就是说，假如 成立，那么 肯定成立.换句话说，只要有条件 就能充分地保证结论 的成立，这时我们称条件 是 成立的充分条件，记作 . 2.讲授新课 （板书充分条件的定义.） 一般地，假如已知 ，那么我们就说 是 成立的充分条件. 提问：请用充分条件来叙述上述（1）、（3）、（6）的条件与结论之

7、间的关系. （同学口答） （1）“ ，”是“ ”成立的充分条件； （2）“三角形全等”是“三角形面积相等”成立的充分条件； （3）“方程 的有两个不等的实数解”是“ ”成立的充分条件. 从另一个角度看，假如 成立，那么其逆否命题 也成立，即假如没有 ，也就没有 ，亦即 是 成立的必需要有的条件，也就是必要条件. （板书必要条件的定义.） 提出问题：用“充分条件”和“必要条件”来叙述上述6个命题. （同学口答）. （1）由于 ，所以 是 的充分条件， 是 的必要条件； （2）由于 ，所以 是 的必要条件， 是 的充分条件； （3）由于“两三角形全等” “两三角形面积相等”，所以“两三角形全等”是

8、“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件； （4）由于“四边形的对角线相互垂直” “四边形是菱形”，所以“四边形的对角线相互垂直”是“四边形是菱形”的必要条件，“四边形是菱形”是“四边形的对角线相互垂直”的充分条件； （5）由于 ，所以 是 的必要条件， 是 的充分条件； （6）由于“方程 的有两个不等的实根” “ ”，而且“方程 的有两个不等的实根” “ ”，所以“方程 的有两个不等的实根”是“ ”充分条件，而且是必要条件. 总结：假如 是 的充分条件， 又是 的必要条件，则称 是 的充分必要条件，简称充要条件，记作 . （板书充要条件的定义.） 3.

9、巩固新课 例1 （用投影仪投影.） B A是B的什么条件 B是 的什么条件 是有理数 是实数 、 是奇数 是偶数 是4的倍数 是6的倍数 （同学活动，老师引导同学作出下面回答.） 由于有理数肯定是实数，但实数不肯定是有理数，所以 是 的充分非必要条件， 是 的必要非充分条件； 肯定能推出 ，而 不肯定推出 ，所以 是 的充分非必要条件， 是 的必要非充分条件； 、 是奇数，那么 肯定是偶数； 是偶数， 、 不肯定都是奇数（可能都为偶数），所以 是 的充分非必要条件， 是 的必要非充分条件； 表示 或 ，所以 是 成立的必要非充分条件； 由交集的定义可知 且 是 成立的充要条件； 由 知 且 ，

10、所以 是 成立的充分非必要条件； 由 知 或 ，所以 是 ， 成立的必要非充分条件； 易知“ 是4的倍数”是“ 是6的倍数”成立的既非充分又非必要条件； （通过对上述问题的沟通、思辩，在争辩中得到了正确答案，并加深了对充分条件、必要条件的熟悉.） 例2 已知 是 的充要条件， 是 的必要条件同时又是 的充分条件，试 与 的关系.（投影） 解：由已知得 ， 所以 是 的充分条件，或 是 的必要条件. 4.小结回授 今日我们学习了充分条件、必要条件和充要条件的概念，并学会了推断条件A是B的什么条件，这为我们今后解决数学问题打下了等价转化的基础. 课内练习：课本（人教版，试验修订本，第一册（上）第 35页练习l、2；第36页练习l、2. （通过练习，检查同学把握状况，有针对性的进行讲评.） 5.课外作业：教材第36页 习题1.8 1、2、3.