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1、 函数的奇偶性与周期性1函数的奇偶性奇函数偶函数定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数都有f(x)f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数图象特征关于原点对称关于y轴对称2.函数的周期性(1)周期函数对于函数yf(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(xT)f(x)，那么就称函数yf(x)为周期函数，称T为这个函数的周期(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期3判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)若f(x)是定义在
2、R上的奇函数，则f(x)f(x)0.()(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点()(3)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)f(x)g(x)是偶函数()(4)定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件()(5)若T是函数的一个周期，则nT(nZ，n0)也是函数的周期()(6)函数f(x)在定义域上满足f(xa)f(x)，则f(x)是周期为2a(a0)的周期函数()(7)函数f(x)0，x(0，)既是奇函数又是偶函数()(8)若函数yf(xa)是偶函数，则函数yf(x)关于直线xa对称()(9)若函数yf(xb)是奇函数，则函数yf(x)关于点(b,0
3、)中心对称()(10)若某函数的图象关于y轴对称，则该函数为偶函数；若某函数的图象关于(0,0)对称，则该函数为奇函数()考点一判断函数的奇偶性命题点用函数奇偶性定义判断例1(1)下列函数为奇函数的是()Ay Byex Cycos x D解析：对于A，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于B，f(x)f(x)，故不符合要求；对于C，满足f(x)f(x)，故不符合要求；对于D，f(x)exex(exex)f(x)，yexex为奇函数，故选D.答案：D(2)下列函数中为偶函数的是()Ay Bylg|x| Cy(x1)2 Dy2x解析：根据奇、偶函数的定义，可得A是奇函数，B是偶函数，C，D为非奇
4、非偶函数答案：B(3)函数f(x)，则()A不具有奇偶性 B只是奇函数C只是偶函数 D既是奇函数又是偶函数解析：由得x或x.函数f(x)的定义域为，对任意的x，x，且f(x)f(x)f(x)0，f(x)既是奇函数，又是偶函数答案：D方法引航判断函数的奇偶性的三种重要方法(1)定义法：(2)图象法：函数是奇(偶)函数的充要条件是它的图象关于原点(y轴)对称(3)性质法：“奇奇”是奇，“奇奇”是奇，“奇奇”是偶，“奇奇”是偶；“偶偶”是偶，“偶偶”是偶，“偶偶”是偶，“偶偶”是偶；“奇偶”是奇，“奇偶”是奇判断下列函数的奇偶性(1)f(x)(x1) ； (2)f(x)lg.解：(1)要使函数有意义
5、，则0，解得1x1，显然f(x)的定义域不关于原点对称，f(x)既不是奇函数，也不是偶函数(2)由01x1，定义域关于原点对称又f(x)lglglgf(x)，f(x)f(x)故原函数是奇函数考点二函数的周期性及应用命题点1.周期性的简单判断2.利用周期性求函数值例2(1)下列函数不是周期函数的是()Aysin xBy|sin x| Cysin|x| Dysin(x1)解析：ysin x与ysin(x1)的周期T2，B的周期T，C项ysin|x|是偶函数，x(0，)与x(，0)图象不重复，无周期答案：C(2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，若对于x0，都有f(x2)，且当x0,2)时，f(
6、x)log2(x1)，则求f(2 017)f(2 019)的值为_解析：当x0时，f(x2)，f(x4)f(x)，即4是f(x)(x0)的一个周期f(2 017)f(2 017)f(1)log221，f(2 019)f(3)1，f(2 017)f(2 019)0.答案：0方法引航(1)利用周期f(xT)f(x)将不在解析式范围之内的x通过周期变换转化到解析式范围之内，以方便代入解析式求值(2)判断函数周期性的几个常用结论f(xa)f(x)，则f(x)为周期函数，周期T2|a|.f(xa)(a0)，则函数f(x)必为周期函数，2|a|是它的一个周期；f(xa)，则函数f(x)必为周期函数，2|a
7、|是它的一个周期1若将本例(2)中“f(x2)”变为“f(x2)f(x)”，则f(2 017)f(2 019)_.解析：由f(x2)f(x)可知T4f(2 017)1，f(2 019)1，f(2 017)f(2 019)0.答案：02若本例(2)条件变为f(x)对于xR，都有f(x2)f(x)且当x0,2)时，f(x)log2(x1)，求f(2 017)f(2 019)的值解：由f(x2)f(x)，T2f(2 019)f(1)log221，f(2 017)f(2 017)f(1)1，f(2 017)f(2 019)2.考点三函数奇偶性的综合应用命题点1.已知奇偶性求参数2.利用奇偶性、单调性求
8、解不等式3.利用奇偶性求解析式或函数值例3(1)若函数f(x)是奇函数，则使f(x)3成立的x的取值范围为()A(，1)B(1,0) C(0,1) D(1，)解析：因为函数yf(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，即.化简可得a1，则3，即30，即0，故不等式可化为0，即12x2，解得0x1，故选C.答案：C(2)函数f(x)是定义在(1,1)上的奇函数，且.确定函数f(x)的解析式；用定义证明f(x)在(1,1)上是增函数；解不等式f(t1)f(t)0.解：在x(1,1)上f(x)为奇函数，f(0)0，即b0，f(x).又，.解得，a1.f(x)，经检验适合题意证明：由f(x).x(1,1)
9、时，1x20，f(x)0f(x)在(1,1)上为增函数由f(t1)f(t)0，得f(t1)f(t)，即f(t1)f(t)得0t.(3)已知f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)x3ln(1x)，则当x0时，f(x)()Ax3ln(1x) Bx3ln(1x) Cx3ln(1x) Dx3ln(1x)解析：当x0时，x0，f(x)(x)3ln(1x)，f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)f(x)(x)3ln(1x)x3ln(1x)答案：C方法引航(1)根据奇偶性求解析式中的参数，是利用f(x)f(x)或f(x)f(x)在定义域内恒成立，建立参数关系.(2)根据奇偶性求解析式或解不等式，是利
10、用奇偶性定义进行转化.1已知f(x)ax2bx是定义在a1,2a上的偶函数，那么ab的值是_解析：a12a0，a.f(x)ax2bx为偶函数，则b0，ab.答案：2定义在R上的偶函数yf(x)在0，)上递减，且0，则满足f(x)0的x的集合为()A.(2，)B.(1,2)C.(2，) D.(2，)解析：选C.由题意可得ff0，又f(x)在0，)上递减，所以，即x或x，解得0x或x2，所以满足不等式f0的x的集合为(2，)3已知函数f(x)xlog21，则的值为()A2 B2 C0 D2log2解析：选A.由题意知，f(x)1xlog2，f(x)1xlog2xlog2(f(x)1)，所以f(x)
11、1为奇函数，则110，所以2.方法探究“多法并举”解决抽象函数性质问题典例(2017山东泰安模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(xy)f(x)f(y)，f(x2)f(x)且f(x)在1,0上是增函数，给出下列四个命题：f(x)是周期函数；f(x)的图象关于x1对称；f(x)在1,2上是减函数；f(2)f(0)，其中正确命题的序号是_(请把正确命题的序号全部写出来)分析关系f(xy)f(x)f(y)隐含了用什么结论？什么方法探究？f(x2)f(x)，隐含了什么结论？用什么方法探究若f(x)的图象关于x1对称，其解析式具备什么等式关系？从何处理探究？f(x)在1,0上的图象与1,2上的图象有什么
12、关系？依据什么指导？f(2)，f(0)从何处计算解析第一步：f(xy)f(x)f(y)对任意x，yR恒成立(赋值法)：令xy0，f(0)0.令xy0，yx，f(0)f(x)f(x)f(x)f(x)，f(x)为奇函数第二步：f(x)在x1,0上为增函数，又f(x)为奇函数，f(x)在0,1上为增函数第三步：由f(x2)f(x)f(x4)f(x2)f(x4)f(x)，(代换法)周期T4，即f(x)为周期函数第四步：f(x2)f(x)f(x2)f(x)(代换法)又f(x)为奇函数，f(2x)f(x)，关于x1对称第五步：由f(x)在0,1上为增函数，又关于x1对称，1,2上为减函数(对称法)第六步：由f(x2)f(x)，令x0得f(2)f(0)f(0)(赋值法)答案回顾反思此题用图象法更直观高考真题体验1(2014高考课标全国卷)设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是()Af(x)g(x)是偶函数B|f(x)|g(x)是奇函数Cf(x)|g(x)|是奇函数 D|f(x)g(x)|是奇函数解析：选C.
