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1、平面向量中三点共线问题的拓展与研究向量是既有大小又有方向的量，我们会用到有关向量的代数运算，或者需要有几何图形的解读. 平面向量与代数、几何融合考查的题目综合性强，难度大，考试要求高三点共线问题是向量中常见的问题之一，本节课来探究向量中三点共线相关的拓展问题.一、引入：如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为_. 复习：平面向量分解定理：如果、是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使.平面向量三点共线结论:在平面内，三点，不共线，则点在直线上的充要条件是.在上述结论中，如果点不在直线上，的值会有什么变化呢？二、拓展1：如果点为平面内直线外任意一点，则（
2、1）当点与点在直线的异侧时，则；（2）当点与点在直线的同侧时，则.证：（1） 如图1，若点与点在直线的异侧，直线与直线交于点，则存在实数，使得，由平面向量分解定理，得，（2）当点与点在直线的同侧时，直线与直线可能不相交，故分成以下几类：当直线与平行时，如图2，从而，由平面向量分解定理得，. 当点在如图的情况时，直线与直线交于点，则存在实数，使得，.由平面向量分解定理可得，.此时，.当点在如图的情况时，直线与直线交于点.则存在实数，使得，此时与反向，即，所以此时.综上，当点与点在直线的同侧时，则.以上结论是否可逆呢？我们以（1）“当点与点在直线的异侧时，则”为例，考察当时，点与点是否在直线的异侧
3、呢？反证法，假设当时，点与点不在直线的异侧.因为，故点不在直线上.根据（2）的证明，点与点在直线的同侧时，可得，与已知矛盾，所以假设不成立.综上，当时，点与点在直线的异侧.同理，可得时，点与点在直线的同侧.总结：如果为平面内直线外任意一点， 点位于直线上；点位于直线上；点位于区域内（不包括边界）；点位于区域内（不包括边界）；点位于区域内（不包括边界）.例1. 如图所示，两射线与交于，下列向量若以点为起点，终点落在区域内（含边界）的有 _. ； ；. 根据与的系数和能够判断哪些终点落在了区域内（含边界），与的系数和都为2，它们对应的终点会是怎么样的呢？设，证明：直线平行于直线.证：直线交于点，直
4、线交于点.设，由拓展1的证明可知，；设，同理，.从而，那么.所以直线平行于直线. 不难发现，当与的系数和为定值时，终点在与直线平行的直线上（或在直线上）.我们把上述结论总结如下：拓展2：如果点为平面内直线外任意一点，动点满足，若（为定值），则点在直线上或平行于的直线上；反之，若动点在直线上或平行于的直线上，则为定值.证法1：第一部分证明略.反之，（1）若动点在直线上，则为定值.（2）若动点在平行于的直线上，设点,是动点的两个可能位置，我们以点、点与点在直线异侧为例.直线平行于直线，分别交直线与点,. ，,由拓展1的证明可得, .同理，,由拓展1的证明可得, .因为直线平行于直线，所以.从而，.
5、 故为定值.证法2：，故.证毕.从拓展2的结论中，我们可以总结到定值的大小与起点到平行线的距离成正比.例2. 给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为.如图所示,点在以为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是_.解：设与相交于点，.要使最大，只要最小即可.故当时，最小值为，即最大值为.变式：给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为.如图所示,点在以为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是_.解： ，.要使最大，只要最小即可.故当时，最小值为，即最大值为.例3. 如图，边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动，点是圆上及其内部的动点，设向量，则的最小值为_，的最大值为_. 2和5三、解题总结1、确定等值线为1 的直线；2、平移（旋转或伸缩）该线，结合动点的可行域，分析何处取得最大值和最小值；3、从长度比或者点的位置两个角度，计算最大值或最小值.四、后记拓展1和拓展2巧妙地将代数问题转化为图形关系，将具体的代数式运算转化为距离的长短比例关系问题，这是数形结合思想的非常直接的体现。运用拓展1和拓展2的结论解题，过程方便、准确率高，极大提升了学生的学习热情与兴趣.
