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1、2011北京各区数学一模试题分类汇编立体几何1. （朝阳理16）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，侧面底面. 若.（）求证：平面；ABPCD（）侧棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点 的位置并证明，若不存在，请说明理由；（）求二面角的余弦值.解法一：（）因为 ，所以.又因为侧面底面，且侧面底面，所以底面.而底面，所以. 在底面中，因为，所以 ， 所以. 又因为， 所以平面. 4分（）在上存在中点，使得平面， EFABPCD证明如下：设的中点是， 连结，则，且.由已知，GHABPCD所以. 又，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面. 8分（）设为中点，连结，
2、则 .又因为平面平面，所以 平面.过作于，连结，由三垂线定理可知.所以是二面角的平面角.设，则, .在中，所以.所以 ，.即二面角的余弦值为. 13分zyxABPCD解法二：因为 ，所以.又因为侧面底面，且侧面底面，所以 底面.又因为，所以，两两垂直.分别以，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图.设，则，. （），,所以 ，所以，.又因为， 所以平面. 4分（）设侧棱的中点是， 则，. 设平面的一个法向量是，则 因为，所以 取，则.所以， 所以.因为平面，所以平面. 8分（）由已知，平面，所以为平面的一个法向量.由（）知，为平面的一个法向量.设二面角的大小为，由图可知，为锐角，所以.即二面角的
3、余弦值为. 13分2. （朝阳文17）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，且，侧面底面，. 若.（）求证：平面；ABPCDE（）设侧棱的中点是，求证：平面.解：（）因为 ，所以.又因为侧面底面，ABPCDE且侧面底面，所以底面.而底面，所以.在底面中，因为，所以 ， 所以. 又因为， 所以平面. 6分EFABPCD（）设侧棱的中点为， 连结，则，且.由已知，所以. 又，所以. 且.所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面，所以平面. 13分PABCDQM3. （丰台理16）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD/BC，ADC=90，平面PAD底面ABCD，Q为AD的中点
4、，M是棱PC上的点，PA=PD=2，BC=AD=1，CD=（）若点M是棱PC的中点，求证：PA / 平面BMQ；（）求证：平面PQB平面PAD； （）若二面角M-BQ-C为30，设PM=tMC，试确定t的值 PABCDQM证明：（）连接AC，交BQ于N，连接MN BCAD且BC=AD，四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，又点M在是棱PC的中点， MN / PA MN平面MQB，PA平面MQB， PA / 平面MBQ （）AD / BC，BC=AD，Q为AD的中点，四边形BCDQ为平行四边形，CD / BQ ADC=90 AQB=90 即QBADPABCDQMNxyz又平面PAD平面AB
5、CD 且平面PAD平面ABCD=AD， BQ平面PAD BQ平面PQB，平面PQB平面PAD 9分另证：AD / BC，BC=AD，Q为AD的中点， 四边形BCDQ为平行四边形，CD / BQ ADC=90 AQB=90 PA=PD， PQAD PQBQ=Q， AD平面PBQ AD平面PAD，平面PQB平面PAD9分（）PA=PD，Q为AD的中点， PQAD平面PAD平面ABCD，且平面PAD平面ABCD=AD， PQ平面ABCD 如图，以Q为原点建立空间直角坐标系则平面BQC的法向量为；， 设，则， ， 12分在平面MBQ中， 平面MBQ法向量为 二面角M-BQ-C为30， ， 14分4.
6、（丰台文16）如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，AD/BC，ADC=90，BC=AD，PA=PD，Q为AD的中点（）求证：AD平面PBQ； （）若点M在棱PC上，设PM=tMC，试确定t的值，使得PABCDQMNPA/平面BMQ证明：（）AD / BC，BC=AD，Q为AD的中点， 四边形BCDQ为平行四边形， CD / BQ ADC=90 AQB=90 即QBAD PA=PD，Q为AD的中点， PQAD PQBQ=Q，AD平面PBQ 6分（）当时，PA/平面BMQ连接AC，交BQ于N，连接MNBCDQ，四边形BCQA为平行四边形，且N为AC中点，点M是线段PC的中点， MN / PA MN平
7、面BMQ，PA平面BMQ， PA / 平面BMQ 13分5. （门头沟理16）APDCOB已知四棱锥的底面为菱形，且，与相交于点.（）求证：底面；（）求直线与平面所成角的正弦值；（）若是上的一点，且，求的值（）证明：因为为菱形，所以为的中点1分因为,所以所以底面 3分（）因为为菱形，所以建立如图所示空间直角坐标系又得 4分所以 ,5分设平面的法向量有 所以解得所以 8分 9分与平面所成角的正弦值为 10分（）因为点在上,所以所以,因为所以,得 解得PDBAEFG所以 14分6. （门头沟文16）如图所示，垂直矩形所在的平面，分别为的中点。()求证（）求证证明：()取中点，连结、，C 因为分别为
8、的中点，所以，2分又在矩形中，所以 ，所以四边形是平行四边形，所以5分 又，.所以7分（）因为，所以在矩形中 又，所以，11分因为所以，因为所以13分石景山理17）在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为A1D1和CC1的中点 （）求证：EF/平面ACD1； （）求异面直线EF与AB所成的角的余弦值； （）在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角PACB的大小为30？若存在，求出BP的长；若不存在，请说明理由7. （石景山文17）在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，G分别为棱BB1，DD1和CC1的中点 （）求证：C1F/平面DEG； （）求三棱锥D1A1AE
9、的体积； （）试在棱CD上求一点M，使平面DEG8. （延庆理16）PDMBCA如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，且 ,侧面底面，且三角形为等腰直角三角形，,是的中点.（）求证; （）求异面直线与所成角的余弦值;（）求二面角的余弦值.（） 连结, 是菱形 ，且 是等边三角形 1分设是的中点，连结，则， 是等腰直角三角形 2分 3分 平面， 4分（） 平面平面 平面以为坐标原点，分别为轴建立空间直角坐标系如图 5分则 7分 9分（） 平面 平面的法向量为 10分设平面的法向量为 ， ，令 可得： 12分 由图形可知，二面角为锐角， 二面角的余弦值为 14分9. （延庆文16）PDBCA如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，,且三角形为等腰，.（）求证; （）线段上是否存在点，使得平面?并说明理由.（）连结, ，且 是等边三角形 1分设是的中点，连结，则， 2分 是等腰三角形， 3分 ， 平面， 5分 平面， 6分（）设为的中点，连，又设是的中点, 连 8分 ， ， 9分 是平行四边形， 10分 平面, 平面 平面 12分 当为的中点时，平面 13分10. （海淀理16）在如图的多面体中，平面，,，是的中点() 求证：平面；
