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1、 二次函数的综合探究（2）二次函数综合探究问题由于它的题型新颖、涉及面广、综合性强、难度较大，不仅能考查学生的数学基础知识，而且能考查学生的创新意识以及发现问题、提出问题、分析问题并解决问题的能力，因而倍受关注四专题四：与二次函数有关的最优化问题与二次函数有关的最优化问题在人们的生产、生活中有着广泛的应用，为帮助同学们进一步掌握这类问题的求解策略。下面给出与之有关的试题，供大家参考例1（滨州市）某商品的进价为每件40元当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件在确保盈利的前提下，解答下列问题：（1）若设每件降价元、每星期售出商品的利
2、润为元，请写出与的函数关系式，并求出自变量的取值范围；（2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？yx第1月第2月第3月332413O图2专题练习四：1（四川乐山）一家电脑公司推出一款新型电脑投放市场以来前3个月的利润情况如图2所示，该图可以近看作为抛物线的一部分请结合图象，解答以下问题：（1）求该抛物线对应的二次函数解析式；（2）该公司在经营此款电脑过程中，第几月的利润最大？最大利润是多少？（3）若照此经营下去，请你结合所学的知识，对公司在此款电脑的经营状况（是否亏损？何时亏损？）作预测分析图1(2)ADFBEC(1)EFGHABDC2（湖北荆门）某人定制了一批地砖，每块地砖（如
3、图1(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD，点E、F分别在边BC和CD上，CFE、ABE和四边形AEFD均由单一材料制成，制成CFE、ABE和四边形AEFD的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图1(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH(1)判断图(2)中四边形EFGH是何形状，并说明理由；(2)E、F在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？专题五：与二次函数有关的数形规律对于有些探求数形规律的题目，直接去思考探索，有时比较困难，而借助于二次函数来探索，会收到事半功倍的效果，现举例说明例1 如图1所示，是由火柴棒搭成的具有一定规律
4、的图案按此规律，第n个图案中共有火柴棒 根 图1 专题练习五：1如图2所示，连结多边形不相邻两点所得的线段叫做多边形的对角线，观察图2中给出对角线条数，请你猜想出n边形的对角线有 条n=3 n=4 图2 n=5 n=6 2如图3，是用火柴棒摆出的一系列三角形图案，按这种方式摆下去，当每边上摆n根火柴棒时，共需要摆根火柴棒；并利用这个结论求当每边上摆2008根火柴棒时，需火柴棒根专题六：二次函数与最短路线问题考查知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。原型：“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正
5、方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。4x22A8-2O-2-4y6BCD-44解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。例1（衢州卷）如图，已知点A(-4，8)和点B(2，n)在抛物线上(1)求a的值及点B关于x轴对称点P的坐标，并在x轴上找一点Q，使得AQ+QB最短，求出点Q的坐标；(2)平移抛物线，记平移后点A的对应点为A，点B的对应点为B，点C(-2，0)和点D(-4，0)是x轴上的两个定点当抛物线向左平移到某个位置时，AC+CB 最短，求此时抛物线的函数解析式；当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形ABCD的周长最短？若存
6、在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由专题训练六：1（山东莱芜）如图，在平面直角坐标系中，己知点A（2，4 ) , OB2。抛物线经过A、O、B 三点。（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M 是抛物线对称轴上的一点，试求MOMA的最小值；（3）在此抛物线上，是否存在一点P，使得以点P与点O、A、B 为顶点的四边形是梯形。若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由。2. （福建福州）已知，如图，二次函数图象的顶点为H，与轴交于A、B两点（B在A点右侧），点H、B关于直线：对称（1）求A、B两点坐标，并证明点A在直线l上；（2）求二次函数解析式；（3）过点B作直线BKAH交直线于K
7、点，M、N分别为直线AH和直线上的两个动点，连接HN、NM、MK，求HN+NM+MK和的最小值二次函数的综合探究（2）参考答案四专题四：与二次函数有关的最优化问题例1解： （1） y=(60x40)(300+20x) 6000+400x300x20x2 20x2+100x+6000自变量的取值范围是0x20.（2）a200，函数有最大值，.当x=2.5时，y的最大值是6125. 当降价2.5元时，每星期的利润最大，最大利润是6125元.专题练习四：1解：（1）因为图象过原点，故可设该二次函数的解析式为：， 由图知：， 解得，所以（2）=（x-7）2+49，当时，利润最大，最大值为（万元）（3）
8、当 ，解得：或（舍）故从第15个月起，公司将出现亏损2解：(1) 四边形EFGH是正方形图1(2)可以看作是由四块图1(1)所示地砖绕C点按顺(逆)时针方向依次旋转90后得到的，故CE=CF=CG=CHCEF、CFG、CGH、CHE是四个全等的等腰直角三角形.因此EF=FG=GH=HE，FEH=EFG=GHE=FGH=90，因此四边形EFGH是正方形. (2)设CE=x，则BE=0.4x，每块地砖的费用为y,那么 y=x30+0.4(0.4-x)20+0.16-x-0.4(0.4-x) 10=10(x-0.2x+0.24) =10(x-0.1)2+2.3(0x0.4) 当x=0.1时，y有最小
9、值，即费用为最省，此时CE=CF=0.1。答:当CE=CF=0.1米时总费用最省.五与二次函数有关的数形规律例1解：观察每个图案发现，每边上的火柴棒数恰好等于图案的序号，可列表如下：每边上的火柴棒数(n)1234火柴棒根数(y)4122440把表中的每边上的火柴棒数和火柴棒根数分别作为点的横、纵坐标，得(1，4)，(2，12)，(3，24)，(4，40)，在直角坐标系内描点、连线近似一段抛物线。所以设第n个图案和火柴棒根数y之间的关系式为y=an2+bn+c把(1，4)，(2，12)，(3，24)分别代入关系式y=an2+bn+c，得，解得，所以y=2n2+2n把(4，40) 代入y=2n2+
10、2n中，左右两边相等，所以y=2n2+2n成立所以第n个图案中共有火柴棒(2n2+2n)根专题练习五：1解：观察每个多边形发现，多边形的边数与对角线可列表如下：多边形的边数 (n)3456对角线的条数 (y)0259把表中的多边形的边数和对角线的条数分别作为点的横、纵坐标，得(3，0)，(4，2)，(5，5)，(6，9)，在直角坐标系内描点、连线近似一段抛物线。所以设n边形的边数n和对角线的条数y之间的关系式为y=an2+bn+c把(3，0)，(4，2)，(5，5) 分别代入关系式y=an2+bn+c，得，解得，所以y=n2n把(6，9) 代入y=n2n中，左右两边相等，所以y=n2n成立所以
11、n边形的对角线有n2n条2解：每边上摆n根火柴棒时共需要摆n2+n；当每边上摆2008根火柴棒时，需火柴棒6051108根。专题六：二次函数与最短距离解：例1专题训练六：1. 解：（1）由OB2 ，可知B（2 , 0) 。将A（2，4），B（2 , 0) , O( 0 , 0 ）三点坐标代入抛物线表达式，得 ，解得。抛物线的函数表达式为。（2）由可得，抛物线的对称轴为直线= 1。且对称轴= 1是线段OB的垂直平分线。连结AB 交直线= 1于点M即为所求。MOMB，则MOMAMAMBAB。作AC轴，垂足为C，则AC= 4，BC4 ，AB 。MOMA的最小值为。（3）若OBAP，此时点A与点P关于
12、直线= 1对称，由A（2，4）得P（4，4）。则得梯形OAPB，若OABP，设直线OA的表达式为，由A（2，4）得。设直线BP 的表达式为，由B ( 2 , 0 ）得， 即。直线BP 的表达式为。,由解得（不合题意，舍去）当。点P（4，12）。则得梯形OAPB。若ABOP，设直线AB的表达式为，由A（2，4），B（2 , 0)得，解得。直线AB 的表达式为。直线OP 的表达式为。由解得（不合题意，舍去）。此时点P不存在。综上所述，存在两点P（4，4）或P（4，12）使得以点P与点O、A、B 为顶点的四边形是梯形。2. 解：（1）依题意，得，解得1=3，2=1，B点在A点右侧，A点坐标为（3，0
13、），B点坐标为（1，0）。直线：，当=3时，点A在直线上。（2）点H、B关于过A点的直线：对称，AH=AB=4。过顶点H作HCAB交AB于C点，则AC=AB=2，HC=。顶点H（1，）。代入二次函数解析式，解得，二次函数解析式为。（3）直线AH的解析式为，直线BK的解析式为，由，解得。K（3，）。则BK=4。过点K作直线AH的对称点Q，连接QK，交直线AH于E，过点K作KDAB，垂足为点D。点H、B关于直线AK对称，HN+MN的最小值是MB， 。且QM=MK，QE= KE= KD= ，AEQK。BM+MK的最小值是BQ，即BQ的长是HN+NM+MK的最小值。BKAH，BKQ=HEQ=90。由勾股定理得QB=8。HN+NM+MK的最小值为8。
