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1、数项级数及其收敛性无穷级数是微积分中不可缺少的部分，无穷级数的历史可 追溯到两千多年前，在古代希腊和中国就有了模糊的级数思 想，而无穷级数的真正发展是从微积分诞生开始的。古希腊时 期，亚里士多德就知道公比小于 1（大于零）的等比级数可求 出和数；阿基米德在抛物线图形求积法一书中，使用几何 级数去求抛物弓形面积，并且得出级数 i+1+丄+丄+丄+二4的和；关于无穷级数，数学史上有个 442434n3著名的芝诺悖论。 两分法 ：向着一个目的地运动的物体，首 先必须经过路程的中点；然而要经过这点，又必须先经过路程 的四分之一点；要过四分之一点又必须首先通过八分之一点等 等，如此类推，以至无穷。结论是
2、：无穷是不可穷尽的过程， 运动永远不可能开始的。庄子亦说一尺之棰，日取其半，万世 不竭。但同时经验告诉我们，终点是能够达到的。要解决这个 悖论，需要引进极限方法。研究无穷级数及其和，可以说是研 究数列及其极限的另一种形式，尤其在研究极限的存在性及计 算极限方面显示出很大的优越性.它在表达函数、研究函数的性 质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有重要的应用,在解 决经济、管理等方面的问题中有着十分广泛的应用.一、级数基本概念定义1设给定一个数列ui，u 2，u 3,，弘，则表达式i23n + + + +12nX1称为无穷级数，另简称级数，记作1 n，即u = u + u + + u + n 1
3、 2 n ， n =1其中称为级数的 第项，也称一般项或通项，如果是常数，则级数】n称为常数项级数，如果是函数，贝级数】n称为函数项 级数其实，在中学数学中我们就已经遇到过无穷级数，如无穷等比数列:a, aq, aq2aqn(|q|1) , 各项的和 a + aq + aq 2 + aq n +；另0.3 二 100.03 =102 ，0.0 03 =，所以有13333 10 10210n 1显然，越大，这个近似值就越接近3，根据极限的概念可知+ +13310ns 丄V也就是说1 3 33= + + +3 10 10210n由以上两个实例可以得到两个重要结论： 结论：1、在一定条件下无穷多个数
4、的和是有意义的，即等于一 个常数。2、一个有限的数可以表示成无穷多个数的和。 无穷级数主要就是学习以上这两方面的内容，即一，无限项相 加的形式在什么条件下有“和”，这种“和”的确切意义是什 么？如讨论数项级数的敛散性、函数项级数的敛散性、收敛域 以及级数的和；二、在一定条件下如何将一个函数展开成无穷 级数，如函数的幂级数展开式。无穷级数是无穷多个数累加的 结果，虽然在形式上也写成用加号连接的一个式子，在意义上 却与过去熟悉的有限项的和完全不同，从有限到无限，发生了 质的变化。实例的方法告诉我们，可以先求有限项的和，然后 运用极限的方法来解决这个无穷多项的求和问题然而有限个 数相加的和一定存在，
5、无限个数相加是否一定有和呢？满足怎 样的条件才能有和呢？和又怎样确定呢？下面借助极限这个工 具来对这些作出解答我们引入部分和概念：把级数u的前项之和n(2)n=1u + u + u12n称为该级数的前项部分和，记为，即s = u + u + + u -当依次取n 12n1,2,3,时，它们构成一个新的数列s = u11s = u + u212s = u + u + u3123s = u + u +u HF un 1 2 3 n称此数列为级数艺u的前项部分和数列.nn=1根据前项部分和数列是否有极限，我们给出级数 (1)收敛与发散的概念.定义2当无限增大时，如果级数艺u的前项部分和数列nn=1s
6、 有极限，即nlim s = snnT8则称级数艺u收敛，这时极限称为级数艺u的和，并记为nnn =1n=1s = u + u + u +-+ u + -123n如果前项部分和数列s 没有极限，则称级数艺u发散.nnn=1当级数艺u收敛于时，则其前项部分和是级数艺u的和的近nnn =1n =1似值，它们的差r = s s = u + u + u+nnn+1n+ 2n + k称为级数Yu的余项.显然limr = 0，而|r |是用近似代替所产生 nnnn=1的误差 .注：（1 ）由级数定义，级数艺u与其前项部分和数列（nn n=1同时收敛或同时发散，且收敛时艺u = lims -nnnsn=12
7、）收敛的级数有和值，发散的级数没有“和”在数项级数中，应用较多的是我们已经熟悉的由等比数列构成的级数，这类级数简称等比级数（或称几何级数）例 1 试讨论等比级数a + aq + aq2 +aqn +（a 丰 0）的收敛性解 根据等比数列前项的求和公式可知，当q h 1时，所给级数的部分和s = a -匕聖n1q于是，当iq 1 时,lim s = lim a -1_ = g n1 qnsns所以这时该等比级数发散当q = 1时，Sn = na（当n Tg ），因此该等比级数发散./fa，当n为奇数，S = a a + a + （1）n1 a = r r /ri_,小当q =】时，n10，当n为偶数，部分和数列不存在极限，故该等比级数发散综上所述可知：等比级数 艺aqn1，当公比q 1时发散.=1例2判别无穷级数为 nNT）二占+23 + 右+ N（Ntl） 的敛散性。+ 1 1 _ 1解：由于 U = n(n +1) = N(n +1)N11因此s =12 + 23 +N1n(n +1)=(1 _ 2)+( 2 _1)+ ( N _ 占)而lim sn = lim（l_ 缶）=1n Tgns所以该级数收敛于和1 。例3证明l+2+3+n+是发散级数。证：此级数的部分和为n( n +1)s =1+2+3+n =2n显然，】im Sn =因此级数是发散级数。n T g
