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1、数项级数及其收敛性无穷级数是微积分中不可缺少的部分,无穷级数的历史可 追溯到两千多年前,在古代希腊和中国就有了模糊的级数思 想,而无穷级数的真正发展是从微积分诞生开始的。古希腊时 期,亚里士多德就知道公比小于 1(大于零)的等比级数可求 出和数;阿基米德在抛物线图形求积法一书中,使用几何 级数去求抛物弓形面积,并且得出级数 i+1+丄+丄+丄+二4的和;关于无穷级数,数学史上有个 442434n3著名的芝诺悖论。 两分法 :向着一个目的地运动的物体,首 先必须经过路程的中点;然而要经过这点,又必须先经过路程 的四分之一点;要过四分之一点又必须首先通过八分之一点等 等,如此类推,以至无穷。结论是
2、:无穷是不可穷尽的过程, 运动永远不可能开始的。庄子亦说一尺之棰,日取其半,万世 不竭。但同时经验告诉我们,终点是能够达到的。要解决这个 悖论,需要引进极限方法。研究无穷级数及其和,可以说是研 究数列及其极限的另一种形式,尤其在研究极限的存在性及计 算极限方面显示出很大的优越性.它在表达函数、研究函数的性 质、计算函数值以及求解微分方程等方面都有重要的应用,在解 决经济、管理等方面的问题中有着十分广泛的应用.一、级数基本概念定义1设给定一个数列ui,u 2,u 3,,弘,则表达式i23n + + + +12nX1称为无穷级数,另简称级数,记作1 n,即u = u + u + + u + n 1
3、 2 n , n =1其中称为级数的 第项,也称一般项或通项,如果是常数,则级数】n称为常数项级数,如果是函数,贝级数】n称为函数项 级数其实,在中学数学中我们就已经遇到过无穷级数,如无穷等比数列:a, aq, aq2aqn(|q|1) , 各项的和 a + aq + aq 2 + aq n +;另0.3 二 100.03 =102 ,0.0 03 =,所以有13333 10 10210n 1显然,越大,这个近似值就越接近3,根据极限的概念可知+ +13310ns 丄V也就是说1 3 33= + + +3 10 10210n由以上两个实例可以得到两个重要结论: 结论:1、在一定条件下无穷多个数
4、的和是有意义的,即等于一 个常数。2、一个有限的数可以表示成无穷多个数的和。 无穷级数主要就是学习以上这两方面的内容,即一,无限项相 加的形式在什么条件下有“和”,这种“和”的确切意义是什 么?如讨论数项级数的敛散性、函数项级数的敛散性、收敛域 以及级数的和;二、在一定条件下如何将一个函数展开成无穷 级数,如函数的幂级数展开式。无穷级数是无穷多个数累加的 结果,虽然在形式上也写成用加号连接的一个式子,在意义上 却与过去熟悉的有限项的和完全不同,从有限到无限,发生了 质的变化。实例的方法告诉我们,可以先求有限项的和,然后 运用极限的方法来解决这个无穷多项的求和问题然而有限个 数相加的和一定存在,
5、无限个数相加是否一定有和呢?满足怎 样的条件才能有和呢?和又怎样确定呢?下面借助极限这个工 具来对这些作出解答我们引入部分和概念:把级数u的前项之和n(2)n=1u + u + u12n称为该级数的前项部分和,记为,即s = u + u + + u -当依次取n 12n1,2,3,时,它们构成一个新的数列s = u11s = u + u212s = u + u + u3123s = u + u +u HF un 1 2 3 n称此数列为级数艺u的前项部分和数列.nn=1根据前项部分和数列是否有极限,我们给出级数 (1)收敛与发散的概念.定义2当无限增大时,如果级数艺u的前项部分和数列nn=1s
6、 有极限,即nlim s = snnT8则称级数艺u收敛,这时极限称为级数艺u的和,并记为nnn =1n=1s = u + u + u +-+ u + -123n如果前项部分和数列s 没有极限,则称级数艺u发散.nnn=1当级数艺u收敛于时,则其前项部分和是级数艺u的和的近nnn =1n =1似值,它们的差r = s s = u + u + u+nnn+1n+ 2n + k称为级数Yu的余项.显然limr = 0,而|r |是用近似代替所产生 nnnn=1的误差 .注:(1 )由级数定义,级数艺u与其前项部分和数列(nn n=1同时收敛或同时发散,且收敛时艺u = lims -nnnsn=12
7、)收敛的级数有和值,发散的级数没有“和”在数项级数中,应用较多的是我们已经熟悉的由等比数列构成的级数,这类级数简称等比级数(或称几何级数)例 1 试讨论等比级数a + aq + aq2 +aqn +(a 丰 0)的收敛性解 根据等比数列前项的求和公式可知,当q h 1时,所给级数的部分和s = a -匕聖n1q于是,当iq 1 时,lim s = lim a -1_ = g n1 qnsns所以这时该等比级数发散当q = 1时,Sn = na(当n Tg ),因此该等比级数发散./fa,当n为奇数,S = a a + a + (1)n1 a = r r /ri_,小当q =】时,n10,当n为偶数,部分和数列不存在极限,故该等比级数发散综上所述可知:等比级数 艺aqn1,当公比q 1时发散.=1例2判别无穷级数为 nNT)二占+23 + 右+ N(Ntl) 的敛散性。+ 1 1 _ 1解:由于 U = n(n +1) = N(n +1)N11因此s =12 + 23 +N1n(n +1)=(1 _ 2)+( 2 _1)+ ( N _ 占)而lim sn = lim(l_ 缶)=1n Tgns所以该级数收敛于和1 。例3证明l+2+3+n+是发散级数。证:此级数的部分和为n( n +1)s =1+2+3+n =2n显然,】im Sn =因此级数是发散级数。n T g