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1、课程设计任务书学生姓名： 专业班级： 自动化0806 指导教师： 陈跃鹏 工作单位： 自动化学院 题 目: 单级移动倒立摆建模及串联PID校正 初始条件：图示为一个倒立摆装置，该装置包含一个小车和一个安装在小车上的倒立摆杆。由于小车在水平方向可适当移动，因此，控制小车的移动可使摆杆维持直立不倒。要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）1、 研究该装置的非线性数学模型，并提出合理的线性化方法，建立该装置的线性数学模型传递函数（以u为输入，为输出）；2、 要求系统输出动态性能满足试设计串联PID校正装置。3、 用Matlab对校正后的系统进行仿真分析，比较
2、校正装置加在线性化前的模型上和线性化后的模型上的时域响应有何区别，并说明原因。时间安排： 任务时间（天）审题、查阅相关资料2分析、计算3编写程序2撰写报告2论文答辩1指导教师签名： 年 月 日系主任（或责任教师）签名： 年 月 日目录1单级移动倒立摆的建模11.1单级移动倒立摆的物理模型11.2单级移动倒立摆的数学建模11.3单级移动倒立摆的数学模型的线性化22单级移动倒立摆系统的串联比例积分微分（PID）校正22.1未校正系统的稳定性32.2系统的串联PID校正52.3校正后系统输出动态性能83校正前系统与校正后系统的比较104心得体会11参考文献12单级移动倒立摆建模及串联PID校正1单级
3、移动倒立摆的建模1.1单级移动倒立摆的物理模型单级倒立摆系统物理模型如图1-1所示。在惯性参考系的光滑水平平面上，放置一个可以水平于纸面方向左右自由移动的小车，一根钢性的摆杆通过末端的一个不计摩擦的固定点连接点与小车相连构成一个倒立摆。倒立摆和小车共同构成了单级移动倒立摆系统。倒立摆可以在平行于纸面180的范围内自由摆动。倒立摆控制系统的目的是使倒立摆在外力的摄动下摆杆仍然能够保持竖直向上的状态。在小车静止的状态下，由于受到重力的作用，倒立摆的稳定性在摆杆受到轻微的摄动下就会发生不可逆转的破坏而使倒立摆无法复位，这时必须使小车在平行于纸面的方向通过位移产生相应的加速度。依照惯性参考系下的牛顿力
4、学原理，作用力与物体对位移时间的二阶导数存在线性关系，故单级倒立摆系统是一个非线性系统。图1-1 单级移动倒立摆的物理模型1.2单级移动倒立摆的数学建模如图1-1所示，在惯性参考系下，设小车的质量为M，摆杆的质量为m；摆杆的长度为l，在某一瞬间时刻的摆角为，在水平方向施加控制力u，此时小车在水平方向的位移为x，此时的摆心瞬时位置为（x + lsin）。在水平方向上，由牛顿第二定律可得 即 在垂直方向上，惯性力矩和重力力矩平衡 即 1.3单级移动倒立摆的数学模型的线性化当很小时()，非线性三角函数可近似为,。故可对方程组进行线性化，带入，方程式1-2和1-4可以化简为 将上式进行拉普拉斯变换得联
5、立1-6式解得 代入M(小车的质量)=2kg，m(倒立摆的质量)=0.1g,l(倒立摆的长度)=0.5m,g(重力加速度)=10m/s2到式1-6得 (1 - 8)2单级移动倒立摆系统的串联比例积分微分（PID）校正2.1未校正系统的稳定性根据系统的开环传递函数（1-8），可得到系统的闭环特征方程（2-1）显然系统在s域正半平面有闭环极点，系统不稳定。根据未校正系统的开环传递函数可以画出系统的结构图。系统结构图如图2-1所示。我们也用MATLAB中的工具SIMULINK画出系统的结构图，同时仿真得到响应的阶跃响应曲线。未校正系统的阶跃响应曲线如图2-2所示。图2-1 未校正系统结构图图2-2
6、未校正系统的阶跃响应曲线从图2-2未校正单级移动倒立摆系统的阶跃响应曲线可以看出系统不稳定。编写MATLAB代码：num = 0 0 1;%定义分子多项式den = -1 0 21;%定义分母多项式w = logspace(-2,3,100);%确定波特图的频率范围bode(num,den,w);%绘制系统的波特图grid%画出网络标度线绘制出系统的波特图，如图2-3所示。图2-3未校正系统的波特图 编写MATLAB代码：n=1;d=-1,0,21;nyquist(n,d)绘制出系统的nyquist图，如图2-4所示。图2-4未校正系统的nyquist图 图2-3、图2-4分别为系统未校正前的
7、波特图和nyquist图，由这两张图也可看出系统处于非稳定状态。2.2系统的串联PID校正 PID控制器由比例单元（P）、积分单元（I）和微分单元（D）组成。其输入e (t)与输出u (t)的关系为:（2-2）式中积分的上下限分别是0和t。因此它的传递函数为：（2-3）其中为比例系数； 为积分时间常数； 为微分时间常数，。在原系统上串联一比例-积分-微分（PID）控制器，如图2-5所示。图2-5 校正系统框图显然校正系统开环传递函数为： （2-4）在SIMULINK仿真中设置、参数对校正系统中的比例积分-微分控制器进行参数整定。首先，、分别置零，从小调到大直到仿真示波器上出现稳态震荡，即波形在
8、幅值1上下作等幅振荡，这时得到=-400。其次，由于系统存在较大的惯性环节，先调节没有效果，这时可先调节，消除稳态震荡，直到示波器上超调量和调节时间在给定范围内，这时也有一个范围。再次，在对应范围内调,在超调量和调节时间在给定范围内的前提下减小稳态误差，得到一个范围。最后，适当增大,调下一组参数范围。参数整定结果如下表2-1。表2-1 PID参数整定：-400-360-24-670-37-6000-24-13000-370-8000-27-14000-320-10000-30-15000-360-12000-35-16000-400在表中取一组参数，运行SIMULINK启动系统结构图仿真，得到
9、系统的单位阶跃响应曲线如图2-6所示：图2-6 SIMULINK仿真单位阶跃响应曲线从SIMULINK仿真的系统单位阶跃响应曲线可以看出我们所设计的串联PID校正已经满足设计要求，下面我们将求出阶跃系统响应的动态性能指标的具体值，并与要求的动态性能比较，看是否达到要求的。2.3校正后系统输出动态性能使用MATLAB中LTI Viewer求系统动态性能指标时发现，SIMULINK中仿真满足要求的参数在LTI Viewer并不都达到要求，经过反复试探，发现-不小于1000，=-80时，系统表现出很好的动态性能，不妨取=-1000，=-80,对比表2-1PID参数整定范围，取=-100时，系统表现出
10、较好稳态性能，则校正后系统的传递函数为：(2-5)使用MATLAB中LTI Viewer求系统动态性能指标，命令框中编程如下：num=80 1000 100;den=1 0 -21 0;sys=tf(num,den);Lsys=feedback(sys,1,-1);y,t,x=step(Lsys);plot(t,y); ltiview运行代码，得出校正后系统阶跃响应输出曲线如图2-7所示：图2-7 校正后系统阶跃响应输出曲线由系统校正后单位阶跃响应曲线可得：显然系统动态性能符合题目的设计要求即所设计的串联PID校正系统满足要求。 编写MATLAB代码画出已校正系统的波特图。num = 44 1
11、000 1500;%定义分子多项式den = 1 0 -21;%定义分母多项式w = logspace(-2,3,100);%确定波特图的频率范围bode(num,den,w);%绘制系统的波特图grid%画出网络标度线已校正系统的波特图如图2-8图所示：图2-8 已校正系统的nyquist图图2-9 已校正系统的波特图 编写MATLAB代码：n=44 1000 1500;d=1 0 -21 0;nyquist(n,d)画出已校正系统的nyquist图。已校正系统的nyquist图如图2-9所示。3校正前系统与校正后系统的比较校正前，系统发散不稳定，加入串联PID校正环节后，比例环节放大时，系
12、统动作灵敏、速度快、稳态误差小，但比例太大时系统震荡次数会增加，调节时间变长；积分控制可以消除系统稳态误差，但会使系统反应速度变慢；微分环节可提高系统动态性能，减少超调量和调节时间。经过适当的PID参数整定，可以使得校正后的系统达到题目要求的。4心得体会在这次自动控制理论课程设计过程中，我的思考和解决问题以及动手能力都有一定的提高。我对串联PID有了更深刻的理解，对MATLAB的操作更加熟练。在21世纪的今天我们越来越多的利用计算机仿真技术做一些研究的仿真和测试，现在的研究离不开计算机仿真技术。通过本次课程设计我学会了使用当前最强大、最流行、最好的仿真建模软件MATLAB，通过MATLAB中的
13、工具SIMULINK我们可以很简单的仿真出一些基本的控制系统。SIMULINK中的仿真形象生动，以绘图为主代码为辅，而其软件本身包含很多库函数和库模型，使得分析系统的输出相应和动态性能等十分简单。我们只要简单的画出系统的结构框图，设置好相应的参数就可以分析系统，分析结果十分精确，使得复杂的数学计算好像是画画一样简单，大大提高了效率。自动控制原理课堂上，我们学的是一些理论知识，虽然我们看上去搞懂了，也会做题了。通过课程设计时我们才知道，原来我们只是对理论略知一二，要是谈到实际应用我们真是无从下手。幸亏有课程设计可以让我们学过的理论学以致用，所以我要感谢老师们认真耐心的辅导我们的课程设计，我希望以后我们可以多做一些类似的课程设计。自动控制原理在现代众多的领域中，自动控制技术起着越来越重要的作用。随着电子技术和计算机技术的发展和应用，自动控制原理的应用越来越广泛，在宇航、机器人控制、导弹制导以及核动力灯高新技术领域中，自动控制技术起着关键作用。现在学好自动控制原理，好好的理论联系实际，将来才能为我国的自动化发展做出贡献。参考文献1王万良.自动控制原理.高等教育出版社，20082吴淑红.MATLAB与SIMULINK工程应用.北京：电子工业出版社，20023刘金琨.先进PID控制及其MATLAB仿真.北京：电子工业出版社，20044葛哲学.精通MATLAB.北京：电子工业出版社，2008
