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1、2023-2024学年广东省东莞市达标名校数学高一下期末联考试题注意事项1考生要认真填写考场号和座位序号。2试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1的值为ABCD2在中,则 ( )ABCD3已知角满足,且,则的值为( )ABCD4如图,在正方体中,分别是,中点,则异面直线与所成的角是( )ABCD5已知,当取得最小值时( )ABCD6已知函数()的最
2、小正周期为,则该函数的图象( )A关于直线对称B关于直线对称C关于点对称D关于点对称7中,则是( )A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰直角三角形8已知函数,且不等式的解集为,则函数的图象为( )ABCD9已知数列满足,则( )ABCD10若,则下列结论不正确的是( )ABCD二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11鲁班锁是中国传统的智力玩具,起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构,这种三维的拼插器具内部的凹凸部分(即榫卯结构)啮合,十分巧妙,外观看是严丝合缝的十字立方体,其上下、左右、 前后完全对称从外表上看,六根等长的正四棱柱体分成三组,经榫卯起来,如图3,若正四棱柱体的高
3、为,底面正方形的边长为,现将该鲁班锁放进一个球形容器内,则该球形容器的表面积的最小值为_(容器壁的厚度忽略不计) 12已知函数,则_.13已知数列:,则_14若点关于直线的对称点在函数的图像上,则称点、直线及函数组成系统,已知函数的反函数图像过点,且第一象限内的点、直线及函数组成系统,则代数式的最小值为_.15甲、乙两人要到某地参加活动,他们都随机从火车、汽车、飞机三种交通工具中选择一种,则他们选择相同交通工具的概率为_.16已知数列的通项公式,则_.三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17求过三点的圆的方程,并求这个圆的半径和圆心坐标18近年来,我
4、国自主研发的长征系列火箭的频频发射成功,标志着我国在该领域已逐步达到世界一流水平.火箭推进剂的质量为,去除推进剂后的火箭有效载荷质量为,火箭的飞行速度为,初始速度为,已知其关系式为齐奥尔科夫斯基公式:,其中是火箭发动机喷流相对火箭的速度,假设,是以为底的自然对数,.(1)如果希望火箭飞行速度分别达到第一宇宙速度、第二宇宙速度、第三宇宙速度时,求的值(精确到小数点后面1位).(2)如果希望达到,但火箭起飞质量最大值为,请问的最小值为多少(精确到小数点后面1位)?由此指出其实际意义.19如图,在三棱锥中,垂直于平面,.求证:平面.20如果定义在上的函数,对任意的,都有, 则称该函数是“函数”(I)
5、分别判断下列函数:; ,是否为“函数”?(直接写出结论)(II)若函数是“函数”,求实数的取值范围(III)已知是“函数”,且在上单调递增,求所有可能的集合与21已知圆C:内有一点P(2,2),过点P作直线l交圆C于A、B两点.(1)当弦AB被点P平分时,写出直线l的方程;(2)当直线l的倾斜角为45时,求弦AB的长.参考答案一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每个小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的1、B【解析】试题分析:由诱导公式得,故选B考点:诱导公式2、A【解析】本题首先可根据计算出的值,然后根据正弦定理以及即可计算出的值,最后得出结果。【详解】因为,所以.
6、由正弦定理可知,即,解得,故选A。【点睛】本题考查根据解三角形的相关公式计算的值,考查同角三角函数的相关公式,考查正弦定理的使用,是简单题。3、D【解析】根据角度范围先计算和,再通过展开得到答案.【详解】,故答案选D【点睛】本题考查了三角函数恒等变换,将是解题的关键.4、D【解析】如图,平移直线到,则直线与直线所成角,由于点都是中点,所以,则,而,所以,即,应选答案D5、D【解析】可用导函数解决最小值问题,即可得到答案.【详解】根据题意,令,则,而当时,当时,则在处取得极小值,故选D.【点睛】本题主要考查函数的最值问题,意在考查学生利用导数工具解决实际问题的能力,难度中等.6、D【解析】函数(
7、)的最小正周期为,令,显然A,B错误;令,可得:,显然时,D正确故选D7、C【解析】由平面向量数量积运算可得,即,得解.【详解】解:在中,则,即,则为钝角,所以为钝角三角形,故选:C.【点睛】本题考查了平面向量数量积运算,重点考查了向量的夹角,属基础题.8、B【解析】本题考查二次函数图像,二次方程的根,二次不等式的解集三者之间的关系.不等式的解集为,所以方程的两根是则解得所以则故选B9、A【解析】由给出的递推式变形,构造出新的等比数列,由等比数列的通项公式求出的表达式,再利用等比数列的求和公式求解即可.【详解】解:解:在数列中,由,得,则数列是以2为首项,以2为公比的等比数列,.,故选:A.【
8、点睛】本题考查了数列的递推式,考查了等比关系的确定以及等比数列的求和公式,属中档题.10、C【解析】A、B利用不等式的基本性质即可判断出;C利用指数函数的单调性即可判断出;D利用基本不等式的性质即可判断出.【详解】A,baa0,,正确;B,ba0,,正确;C,因此C不正确;D,正确,综上可知:只有C不正确,故选:C.【点睛】本题主要考查不等式的基本性质,属于基础题.解答过程注意考虑参数的正负,确定不等号的方向是解题的关键.二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。11、【解析】表面积最小的球形容器可以看成长、宽、高分别为1、2、6的长方体的外接球设其半径为R, ,所以该球形容器的表面积
9、的最小值为 【点睛】将表面积最小的球形容器,看成其中两个正四棱柱的外接球,求其半径,进而求体积12、【解析】根据题意令f(x),求出x的值,即可得出f1()的值【详解】令f(x)+arcsin(2x),得arcsin(2x),2x,解得x,f1()故答案为:【点睛】本题考查了反函数以及反正弦函数的应用问题,属于基础题13、【解析】根据数列的规律和可知的取值为,则分母为;又为分母为的项中的第项,则分子为,从而得到结果.【详解】当时,;当时, 的分母为:又 的分子为: 本题正确结果:【点睛】本题考查根据数列的规律求解数列中的项,关键是能够根据分子的变化特点确定的取值.14、【解析】根据函数的反函数
10、图像过点可求出,由、直线及函数组成系统可知在的图象上,且, 代入化简为,换元则,利用单调性求解.【详解】因为函数的反函数图像过点,所以,即,由、直线及函数组成系统知在上,所以,代入化简得,令由知 ,故 则在上单调递减,所以当即时,故填.【点睛】本题主要考查了对称问题,反函数概念,根据条件求最值,函数的单调性,换元法,综合性大,难度大,属于难题.15、【解析】利用古典概型的概率求解.【详解】甲、乙两人选择交通工具总的选择有种,他们选择相同交通工具有3种情况,所以他们选择相同交通工具的概率为故答案为:【点睛】本题考查古典概型,要用计数原理进行计数,属于基础题16、【解析】本题考查的是数列求和,关键
11、是构造新数列,求和时先考虑比较特殊的前两项,剩余7项按照等差数列求和即可【详解】令,则所求式子为的前9项和其中,从第三项起,是一个以1为首项,4为公差的等差数列,故答案为1【点睛】本题考查的是数列求和,关键在于把所求式子转换成为等差数列的前项和,另外,带有绝对值的数列在求和时要注意里面的特殊项三、解答题:本大题共5小题,共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(x4)2+(y+3)2=21,圆的半径为【解析】设出圆的一般方程,把代入所设,得到关于的方程组,求解,即可求得圆的一般方程,化为标准方程,进一步求得圆心坐标与半径.【详解】设圆的方程为:x2+y2+Dx+Ey+F=0,
12、则,解得D=4,E=3,F=0,圆的方程为x2+y28x+6y=0,化为(x4)2+(y+3)2=21,可得:圆心是(4,3)、半径r=1【点睛】本题主要考查圆的方程和性质,属于简单题.求圆的方程常见思路与方法有:直接设出动点坐标 ,根据题意列出关于的方程即可;根据几何意义直接找到圆心坐标和半径,写出方程;待定系数法,可以根据题意设出圆的标准方程或一般式方程,再根据所给条件求出参数即可.18、(1) (2)见解析【解析】(1)弄清题意,将相关数据代入齐奥尔科夫斯基公式:,即可得出各个等级的速度对应的的值;(2)弄清题意与相关名词,火箭起飞质量即为,将公式变形,分离出,解不等式即可得,的最小值为
13、.【详解】(1)由题意可得,且,当达到第一宇宙速度时,有,;当达到第二宇宙速度时,有,;当达到第三宇宙速度时,有,.(2)因为希望达到,但火箭起飞质量最大值为,即,得,的最小值为比较(1)中当达到第三宇宙速度时,;火箭起飞质量为,此时,达到,但火箭起飞质量最大值为,的最小值为.由以上说明实际意义为:不是火箭的推进剂质量越大,火箭达到的速度越大,当减少推进剂质量,增大火箭发动机喷流相对火箭的速度,同样可以达到想要的速度.【点睛】本题是一个典型的数学模型的应用问题,用数学的知识解决实际问题,这类题目关键是弄清题意;建立适当的函数模型进行解答属于中档题.19、证明见解析【解析】分析:由线面垂直的性质
14、可得,结合,利用线面垂直的判定定理可得平面.详解:面,在面内,又,面.点睛:证明直线和平面垂直的常用方法有:(1)利用判定定理;(2)利用判定定理的推论;(3)利用面面平行的性质;(4)利用面面垂直的性质,当两个平面垂直时,在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.20、(I)、是“函数”,不是“函数”; (II)的取值范围为;(III),【解析】试题分析:(1)根据“函数”的定义判定、是“ 函数”,不是“函数”;(2)由题意,对任意的xR,f(x)+f(x)0,故f(x)+f(x)=2cosx+2a由题意,对任意的xR,2cosx+2a0,即acosx即可得实数a的取值范围(3)对任意的x0