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1、 北京工业大学09级第二学期期中考试北京工业大学20092010学年第二学期高等数学（信、工）期中试卷答案学号 姓名 成绩 注意：本试卷共6页，12道题。考试时间95分钟。考试日期：2010年月5 日一、计算下列各题：本大题共6小题，每小题8分，共48分. 解答应写出主要过程或演算步骤.1设 ，求 。 解： ， 3分 ， 3分 。 2分2设 ，其中具有连续的二阶偏导数，求 。解： ， 4分 。 4分3.求曲面 ，在点 处的切平面和法线方程。解： 曲面在点处的法向量为 即 ，2分 所以，切平面方程为 ， 3分 法线方程为 。 3分4.设幂级数的收敛半径为2，对幂级数而言，为其收敛点的集合，为其发
2、散点的集合，为其尚不能缺定敛散性的点的集合。试将下列的值归入相应的集合。 解： 。 （ 3，3，2 分）5. 设是以为周期的函数，且，若将展开成傅里叶级数，设其和函数为.(1) 写出的表达式.(只写出一个周期里的即可)(2) 求 及.解： 4分 ； 。 4分6. 写出微分方程的特解形式.(不需要求出系数值)解： 因为特征方程为 ，所以，特征根 4分 而 ，即 是单根， 则特解得形式为 。 4分二、 解答题: 本大题共4小题，每题8分，共32分. 要求写出详细的解答过程.7.设, , 其中函数 与都有连续的一阶偏导数, 求 .解： 因为 ，而 4分所以 。4分8.判别级数 是否收敛？若收敛请说明
3、是绝对收敛，还是条件收敛？ 解 因为 ， 当 时，每一项都是正的。 而 ， 所以，原级数收敛， 6分且是绝对收敛。 2分9.求通过点的曲线方程，使此曲线在区间上所形成的曲边梯形面积的值等于该曲线段终点的横坐标与纵坐标乘积的二倍减去。解 设所求曲线方程为 由题意知 ， 2分 两边同时对求导，得 ， 即 ，解此微分方程。分离变量 ， 两边积分，得 ， 3分即 ， 将 代入，得 ，则所求曲线方程为 。 3分10.将函数展开为的幂级数，并指出其幂级数的收敛区间 解： 因为 ， 。 4分 又 ， 故 4分三、 解答题: 本大题共2小题，每题10分，共20分. 要求写出详细的解答过程.11求微分方程 的解，使得该解所表示的曲线在点处与直线相切解： 因为特征方程为 ，所以，特征根 所以，原方程的通解为 4分而由条件知 ， 2分代入到通解，得 ， 则原方程的特解为 。 4分12.求的收敛区间和和函数并求出级数的和 解： 收敛域为 ， 1分 设原级数的和为 ， 故 3分 。 4分 则 。 2分高等数学（信、工2）期中考试试卷 第 6 页 共 6页
