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1、合肥师范学院2014届本科生毕业论文（设计）学号：1007410101 本科毕业论文（设计）(2014 届) 留数定理及其应用 院 系 数学与统计学院 专 业 数学与应用数学 姓 名 指导教师 职 称 6摘要留数定理是复积分和复级数理论相结合的重要产物之一，只有正确理解并掌握孤立奇点的概念，进一步研究孤立奇点的分类，还有函数在孤立奇点的留数概念，才能解决一些实际问题中涉及留数的应用。理解并掌握留数的计算方法，尤其是极点处留数的求解方法，以及实际求解中会应用留数求一些实积分。我们现在所学习还有研究的留数理论就是是柯西积分理论的延续，泰勒级数和洛朗级数与其密切联系，是研究解析函数的重要工具。留数在
2、复变函数论本身和实际应用中都是有其重要地位的，尤其是与计算周线积分的问题密切相关。此外，我们还可以运用留数理论已知条件去解决“大范围”的积分计算问题，也可以访问一个函数的零点分布区域问题。关键词：留数理论；留数的计算；积分；留数的应用ABSTRACTResidue theorem is the combination of the theory of integral and series, need to correct understanding of the concept and the classification of isolated singularity of isolate
3、d singularity and function in the isolated singularity residue concept. Mastering the residue method, especially in pole residue, practice with residue and some solid points. Residue is one of important concepts in the theory of complex function, and analytic function in the isolated singularity, ca
4、uchy composite Laurent expansion of closed circuit theorem and so on all are closely linked. Now research of residue theory is a continuation of cauchy integral theory. The insert in the middle of the Taylor series and Laurent series is a powerful tool to study analytic function. Residue in the comp
5、lex variable function theory and practical application is important it and calculating contour integral (or boil down to examine cycle line integral) problems have close relationship. In addition the residue theory, we have conditions to solve the problem of large scale integral calculation, can als
6、o examine zero point of function in the area of distributionKey words：Residue theory; The calculation of residue; Integral; The application of residue 目录摘要IABSTRACTII1.引言12留数12.1留数的定义及留数定理12.2留数的求法22.3函数在无穷远点的留数33.用留数定理计算实积分43.1计算型积分53.2 计算型积分63.3计算型积分73.4 计算型积分93.5 计算积分路径上有奇点的积分103.6.留数定理在级数求和中的应用1
7、14.辐角原理及其应用124.1对数留数124.2辐角原理145.结束语15参考文献161.引言留数理论是柯西积分理论的延续，泰勒级数和洛朗级数与其密切联系，是研究解析函数的重要工具。留数在复变函数论本身及实际应用中都有其重要地位的，它和计算周线积分(或归结为考察周线积分)的问题有密切相关。此外，我们还可以应用留数理论已有条件去解决“大范围”的积分计算问题，也可以访问一个函数的零点分布区域问题. 留数定理是复变函数理论中十分重要的结论，它的价值在于：实值函数理论中的一些难点问题在于其复杂的功能集成，于此可以更容易地得到解决的同时，在空气动力和流体力学中广泛出现的围线积分的计算也依赖于留数，因此
8、，如何有效简便计算留数越来越受到相关科学工作者、学者与工程工作者的重视。2留数2.1留数的定义及留数定理若函数在点是解析的，则周线C都在点的某个邻域内，且包围点,则根据柯西积分定理但是,若的一个孤立奇点为点，且点的某个去心邻域包含周线C，并包围点，则积分的值，一般来说，不再等于零.然后利用洛朗级数公式就很容易计算出它的结果来.定义2.1 设函数是以有限点为孤立奇点，即在点的某个去心邻域内解析,则称积分 (C：=, )为在点的留数，记为定理2.1（柯西留数定理）设函数 周线或复周线 C范围除有限个孤立点处处解析。周线C是区域D内包围各个奇点的一条正向简单闭曲线，则 (2.1)注1:除上述关于留数
9、的定义外，留数还可定义为 ，其中是以为中心的圆环域内的洛朗级数中负幂项 的系数。2.2留数的求法一般情况下, 求函数在孤立奇点处的留数,通过留数的定义,然后求出其以为中心的圆环区域中的洛朗展式中负一次幂项的系数。 但在实际求解时我们不需要这样来求, 而是先分析函数孤立奇点的类型，最终计算起来也比较简便。定理2.2 设为的阶极点，其中（由定理5.4）在点解析，则. （2.2）这里符号代表，且有.注：如果能从中消去，则消去后直接代值计算，否则，需计算极限推论2.3设为的一阶级点， ，则 . （2.3）推论2.4 设为的二阶极点，则 . （2.4）定理2.5 设为的一阶级点（只要及在a点解析，且），
10、则 （2.5）例 2.1 计算积分 .解 经分析得被积函数 在圆周的区域内部只有一阶级点及二阶极点.由推论2.4，；由推论2.5 故由留数定理得 .例2.2计算积分 （n为正整数）.解 只以,()为一阶级点.由推论2.3得（).于是，由留数定理得.例2.3求在处的留数.解 是的二阶极点，由推论2.4得.2.3函数在无穷远点的留数定义2.2 设函数在圆环内解析，周线为圆环内绕原点的任一正向简单闭曲线，那么称为在无穷远点的留数，记为，其中与曲线是方向相反但重合的两条曲线。定理2.6 若函数在扩充平面上只有有限个孤立奇点（无穷远点包括在内），设为，则在各点的留数总和为零，即 （2.6）证明：设的有限
11、个孤立奇点为。以原点为中心，为半径作一个的足够大的圆，使得圆的内部包含，由柯西留数定理可得 ，又因，所以 但是，虽然在的有限可去奇点处，必有，但如果以为的可去奇点（或解析点），则可以不是零. 例如： 为可去奇点，但. 为了计算这种情况引入的另一公式. 令 于是，且平面上无穷远点的去心邻域被变成平面上无穷远点的去心邻域；圆周被变成圆周从而易证 .所以 . （2.7）3.用留数定理计算实积分用留数定理来计算某些实的定积分，特别是对原函数不容易直接求出结果的定积分与反常积分，是一个非常有效的方法，其关键是将它转化为复变函数的周线积分，然后简便计算。3.1计算型积分 这里表示的有理函数，并且在上连续.
12、若命，则，当在变化时，z沿圆周|z|=1的正方向绕行一圈.于是有 上述等式右端是z的有理函数的周线积分，而且积分路径上没有奇点，运用留数定理便可求得其结果.注：上式的关键是应用变数代换，对于被积函数在上的连续性不需要先检验，只需看变换后的被积函数在上是否有奇点即可.例3.1计算积分 .解 命，则.当时，这样就有 ，且在|z|1内，只以为一阶级点，在上无奇点，依公式（2.4）所以，由留数定理得上述所用方法为留数定理来求积分，如果不用留数定理应该怎么计算呢？下面我们用一般求积分的方法来求这个实积分。令 ，则 ， 因为 所以 代入原式得 从上面的式子来看我们还是无法求解，被积函数的原函数依然不清晰，
13、所以应用留数定理得计算显得尤为重要。例3.2 计算积分 m为正整数.解 因为被积函数为的偶函数，故命 则 .设 ，则.在圆周内部，被积函数仅有一个一阶级点，故由留数定理，于是知 ，所以 在实际问题中，总是有一些反常积分的计算，如： （光的折射）； (有阻尼的振动)；（热传导）等等.如果用数学分析中计算反常积分的方法，计算以上几个反常积分时很麻烦的，而且没有统一的处理方法。但是根据留数定理来计算还是比较简洁的.3.2 计算型积分为了计算这种反常积分，首先给出一个引理及其证明.它主要是用来估计辅助曲线上的积分.引理3.1 设沿圆弧上连续，且于上一致成立（即于中的无关）则. （3.7）证 因为 ，于是有 （3.8）对任意，由已知条件，存在，使当时，有不等式.于是（3.8）式不超过.定理3.7 设为有理
