《(完整word版)组合数学第一章答案..doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(完整word版)组合数学第一章答案..doc（28页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、.从中找两个数，使其满足（1） ；（2）解：（1）根据 可得 则有 共有90种。（2）根据 得 则：当时，有 ， ， 则有 6种 ， ， 则有7种 ， ， 则有8种 ， ， 则有 9种 ， ， 则有10种当时，有 ， ， 则有 11种 ， ， 则有 11种 . . . . . . . . . ， ， 则有11种当时，有 ， ， 则有 10种 ， ， 则有 9种 ， ， 则有 8种 ， ， 则有 7种 ， ， 则有 6种故：共 1.2 （1）先把女生进行排列，方案为5！，然后把女生看成1个人和7个男生进行排列，总方案数为5！8！（2）女生不相邻，则先把男生进行排列，方案为7！再把女生插入男生之间
2、的8个空位种的任意5个，总方案数为7！（3）应该是A 女生x 女生y 女生z B,或是B女生x 女生y 女生z A的形式，从5个女生中选出3人进行排列，方案为，考虑A,B可以换位，方案为2，然后把这个看成一个整体，和剩下的2个女生，5个男生，一共7个人进行排列，总方案数28！1.3 m个男生,n个女生,排成一行,其中m,n都是正整数,若（a）男生不相邻（mn+1）；（b）n个女生形成一个整体；（c）男生A和女生B排在一起；分别讨论有多少种方案。 解：(a)n!p(n+1,m)(b)(m+1)!n!(c)2(m+n-1)!14 26个英文字母进行排列，求X和Y之间有五个字母的排列数？解:排列数为
3、C(24,5)*5！*2*20！1.5 求3000到8000之间的奇整数的数目，且没有相同的数字。解：设四位数为n3n2n1n0.由已知可知，n3只能取，3，4，5，6，7，8，n0只能取1,3,5,7,9.分以下两种情况讨论：1.当n3取3，5，7的时候，由于是不能重复的，所以n0只能有4种选择，而剩下的n2,n1分别有8，7种选择。所以符合条件的数，根据乘法原理有：3*4*8*7=672.个 2.当n3取4，6，8时，由于是不能重复的,所以n0有5种选择，而剩下的n2,n1分别有8，7种选择，所以符合条件的数，根据乘法原理有： 3*5*8*7=840个 所以综上所述，符合条件的数，根据加法
4、原理共有： 672+840=1512个1.6 1*1!+2*2!+3*3!+(n-1)*(n-1)! 根据公式得 1*1!+2*2!+3*3!+(n-1)*(n-1)!=n!-11.7 试证 （n+1）(n+2)(2n)被除尽。证明：所以（n+1）(n+2)(2n)能被除尽。1.8 求1040和2030的共因数的数目. 解: 10 40=2 40 * 5 40 20 30=260 * 5 30 1040和2030的公因子有40*30=1200 个1.9 试证n的平方的正除数的数目是奇数答案：因为n的平方一定是两个数的乘积，一定是两个不同的数的乘积或唯一的一个相同的 数的乘积。例如，16可以是1
5、*16，2*8或4*4，前面的都是成对出现的，只有4是一个 数，所以他们的和一定是奇数。1.10 证明任一正整数n可唯一地表示成如下形式： n=, , 证明：对n用数学归纳法 当n=0,1时，0=01! , 1=11!。命题成立。 假设对于小于n的非负整数，命题成立。 对于n，设，即由，对命题成立。设，其中， (原因是而不能等于)，那么，其中，命题成立。再证唯一性：设，不妨设，即，假设，则j=3。那么，因为与前j项相等，上式两边均减去前j项，即，即 将上式两边都除以，得 可以看出，上式的余数为=与假设矛盾。因此是唯一的1.11求证：nC(n-1,r)=(r+1)C(n,r+1)证明：左边=C(
6、n,1)C(n-1,r)右边=C(r+1,1)C(n,r+1)=C(n,1)C(n-1,r+1-1)=C(n,1)C(n-1,r)=左边所以等式成立。112 试证: 证明: (1+x) =C(n,0)+C(n,1)x+C(n,2)x+C(n,n)x 两边求导,并令x=1代入n(1+1)=C(n,1)+C(n,2)x+C(n,3)x+ +C(n,n)xn2组合意义: 设有n个不同的小球,A,B两个盒子,A盒中恰好放1个球,B盒中可放任意个球.有两种方法放球:第一种: 先从n个球中取k个球(k1),在从k中挑一个放入A盒,方案数共为,其余放入B盒.第二种: 先从n个球中任取一球放入A盒,剩下n-1
7、个球每个球有两种可能,要么放入B盒,要么不放,故方案数为n2, 显然相等.1.13：有N个不同的整数，从中取出两组来，要求第一组的最小数大于第二组的最大数。解：本题求取两组数的取法。我们首先从N中去M个数（2=M=N）,因为M个数是不同的，所以存在一个递增的序列A=a1,a2,a3,a4aM (a1a2a3a4aM)。 然后我们从序列中按顺序取出a1，a1,a2，a1,a2,a3a1,a2,a3,a4aM作为第一组，剩下的作为第二组。就可以保证第一组的最小数大于第二组的最大数。从N中去M，共有C（n，m）种，每一种M对应一个序列A，每一个序列A对应M-1种分组方法。所以对于每一个M共有，C（n
8、，m）（m-1）种分组方法。又因为2=M=N，所以总共的分组方法为：1.14 6个引擎分列两排，要求引擎的点火顺序两排交错开来，试求从一个特定引擎开始有多少方案？ 解： 设6个引擎分别为1、2、3、4、5、6 不失一般性，我们把1、2、3放在第一排，4、5、6放到第二排。 由题意知从一个特定引擎开始，不妨设从1开始，那么（1）1开启之后，下一个开始点有4、5、6三种选择（2）第二排的一个开启之后，下一个开始点有2，3两种选择（3）然后第一排，第二排剩下俩，那么有两种选择（4）然后第一排只剩一个，第二排只剩一个，所以就剩一种选择 所以，由乘法法则方案数=32211=121.15试求从1到1000
9、000的整数中，0出现了多少次？解：先考虑1到99 9999.个位为零的整数出现999991次 为：10999990十位为零的整数出现999910次 为：101999909百位为零的整数出现999100次 为：1000999099千位为零的整数出现991000次 为：10000990999万位为零的整数出现910000次 为：100000909999而100 0000本身有6个零所以从1到1000000的整数中，0出现的次数为：999991+999910+999100+991000+910000+6=4888951.16 n个完全一样的球放在r个有标志的盒子里面 ，无一空盒，问有多少种方案？
10、解：r个盒子无一空盒，说明先要从n个球中取出r个先放每个盒中一个； 余下n-r个无标志的球，放入r个有标志的盒子中，根据定理可以得出 结果是 。1.17 n和r都是正整数，而且rn，试证下列等式1) 2) 3) 4) 5) 1） 证明：左边=n*(n-1)（n-r+1） 右边= n*(n-1)（n-r+1）所以 左边=右边同理：（2）（3）（4）得证。5）证明：利用（4）， =等式右边118 8个盒子排成一列，5个有标志的球放到盒子中，每个盒子最多放一个球，要求空盒子不相邻，问有多少种排列方案。 解： P( 5 , 5 )*C( 6 , 3)=2400（种）答：共有2400种方案。1.19n
11、+ m 位由m个0，n个1组成的符号串，其中nm+1，试问不存在两个1相邻的符号串的数目。解：该题可以看作是往m个0里插入n 个1，即从m+1个空中选取n个空放1，这样就使得不存在两个1相邻，总的解决方案数为：1.20 甲单位有10个男同志，4个女同志，乙单位有15个男同志，10个女同志，由他们产生一个7人的代表团，要求其中甲单位占4人，而且7人中男同志5位，试问有多少种方案？ 解： 根据题意，符合要求的组合法有3种：（1）甲单位4男0女，乙单位1男2女；（2）甲单位3男1女，乙单位2男1女；（3）甲单位2男2女，乙单位3男0女。则对应的组合数为：（1），（2）， （3）。因此，符合条件的方案
12、数共有：141750+504000+122850=768600种。1.21 一个盒子里有7个无区别的白球，5个无区别的黑球。每次从中随机取走一球，已知前面取走6个，其中3个是白的。试问第6个球是白球的概率？解：设6个球的编号分别为1、26。6个球中第6个球是白球的所有可能方案为：126、136、146、156、236、246、256、346、356、456，既有10种可能。那么第6个球是白球的概率为10/C（6，3）=1/2。1.22 求图1-22中从0到P的路径数。（1）路径必须经过A点（2）路径必须过道路AB（3）路径必须过A点和C点（4）道路AB封锁（但A,B两点开放）解题：（1） （2
13、） （3） （4）1.23 令，试证：解题：（1）：因为x,y的最小值为1，所以 当z=2时：x=y=1, 当z=3时：x,y各有两种选择 当z=n+1时：x,y各有两种选择即： （2）：因为且。当x=y时，从取两个数，大的给z，小的给x,y,有。当时，取三个数，大的给z，小的给x或y，有，即：1.24 A=(a,b)|a,bZ,0a9,0b5(1) 求x-y平面上以A作顶点的长方行数目；(2) 求x-y平面上以A作顶点的正方形数目；如图所示132450678912345解：思想是分别以纵坐标0、1、2、3、4为起点，横坐标和纵坐标一起够成的长方形即：4*C（9，1）+4*C（9，2）+4*C（9，3）+4*C（9，4）+4*C（9，5）+5*C（9，6）+5*C（9，7）+5*C（9，8）+5 + 3*C（9，1）+3*C（9，2）+3*C（9，3）+3*C（9，4）+4*C（9，5）+4*C（9，6）+4*C（9，7）+4*C（9，
