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1、掌握空间向量神器 决战高考立体难题例析空间向量在立体几何中的应用安徽合肥市巢湖柘皋中学 孙平（特级教师 邮编238062） 空间向量是高考考查的重要内容之一，是处理空间线线、线面、面面位置关系和夹角、距离的重要工具，掌握空间向量神器，决战高考立体难题：思路简单，模式固定，避免了作辅助线的难度，下面例析空间向量在立体几何中的重要考点和解题方法.1.利用空间向量求空间角和距离（一)两条异面直线所成角的求法设两条异面直线a，b的方向向量为，其夹角为，则cos |cos |(其中为异面直线a，b所成的角)（二）直线和平面所成的角的求法 如图所示，设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线l与平面所成的
2、角为，两向量与的夹角为，则有sin |cos |.（三）求二面角的大小（1）如图，AB、CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，（2）如图，分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小，(或,)（四）利用向量法求点到平面的距离如图，设AB为平面的一条斜线段，为平面的法向量， 则点B到平面的距离d（可理解为和平面单位法向量的数量积的绝对值）例1. 2013新课标全国卷 如图所示，三棱柱ABCA1B1C1中，CACB，ABAA1，BAA160.(1)证明：ABA1C；(2)若平面ABC平面AA1B1B，ABCB，求直线A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值解：(1)证明：
3、取AB的中点O，联结OC，OA1，A1B.因为CACB，所以OCAB.由于ABAA1，BAA160，故AA1B为等边三角形，所以OA1AB.因为OCOA1O，所以AB平面OA1C.又A1C在平面OA1C内， 故ABA1C.(2)由(1)知OCAB，OA1AB.又平面ABC平面AA1B1B，交线为AB，所以OC平面AA1B1B，故OA，OA1，OC两两相互垂直以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.由题设知A(1，0，0)，A1(0，0)，C(0，0，)，B(1，0，0)则(1，0，)，(1，0)，(0，)设n(x，y，z)是平面BB1C1C的法向
4、量，则即 可取n(，1，1) 故cos n，.所以A1C与平面BB1C1C所成角的正弦值为.例2. 2011四川卷 如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90，ABACAA11，D是棱CC1上的一点，P是AD的延长线与A1C1的延长线的交点，且PB1平面BDA1.(1)求证：CDC1D； (2)求二面角AA1DB的平面角的余弦值；(3)求点C到平面B1DP的距离解： 如图，以A1为原点，A1B1，A1C1，A1A所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系A1xyz，则A1(0,0,0)，B1(1,0,0)，C1(0,1,0)，B(1,0,1)(1)设C1Dx，ACPC1，.由此可得
5、D(0,1，x)，P，(1,0,1)，(0,1，x)，.设平面BA1D的一个法向量为n1(a，b，c)，则令c1，则n1(1，x，1)PB1平面BA1D，n11(1)x(1)00.由此可得x，故CDC1D.(2)由(1)知，平面BA1D的一个法向量n1.又n2(1,0,0)为平面AA1D的一个法向量cosn1，n2.故二面角AA1DB的平面角的余弦值为.(3)(1，2,0)，设平面B1DP的一个法向量n3(a1，b1，c1)，则令c11，可得n3.又，C到平面B1DP的距离d.2用向量法证明空间平行或垂直（一）向量法证明空间平行的方法线线平行：只要证明两直线的方向向量共线线面平行：只要证明该直
6、线的方向向量与平面的某一法向量垂直；或证明直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行面面平行：只要证明两平面的法向量为共线向量；或转化为线面平行、线线平行问题例3.在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA12AB2BC，E、F、E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点 求证：CE平面C1E1F；解：以D为原点，DA，DC，DD1所在的直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，设BC1，则C(0,1,0)，E(1,0,1)，C1(0,1,2)，F(1,1,1)，E1.（1）设平面C1E1F的法向量n(x，y，z) ，(1,0,1)，即取n(1,2,1)(1，1,1)，n1210，n.CE平面C
7、1E1F.（二）向量法证明空间垂直的方法线线垂直：只要证明两直线所在的方向向量互相垂直，即证它们的数量积为零线面垂直：只要证明直线的方向向量与平面的法向量共线，或将线面垂直的判定定理用向量表示面面垂直：只要证明两个平面的法向量垂直，或将面面垂直的判定定理用向量表示例4.如图，已知AB平面ACD，DE平面ACD，ACD为等边三角形，ADDE2AB，F为CD的中点（1）求证：AF平面BCE；（2）求证：平面BCE平面CDE.解：设ADDE2AB2a，建立如图所示的坐标系Axyz，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)F为CD的中点， F（，0
8、）.（1）证明：（，0），(a，a，a)，(2a，0，a)，()，AF在平面BCE内，AF平面BCE.（2）证明：（，0）(a，a,0)，(0,0，2a)，0，0， ，.又CDDED， 平面CDE， 即AF平面CDE.又AF平面BCE， 平面BCD平面CDE.3.学生巩固练习1 如图在圆锥PO中，已知PO，O的直径AB2，C是的中点，D为AC的中点(1)证明：平面POD平面PAC；(2)求二面角BPAC的余弦值参考解法：(1)如图所示，以O为坐标原点，OB，OC，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系则O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0
9、,0，)，D.设n1(x1，y1，z1)是平面POD的一个法向量，则由n10，n10，得所以z10，x1y1.取y11，得n1(1,1,0)设n2(x2，y2，z2)是平面PAC的一个法向量，则由n20，n20，得所以x2z2，y2z2，取z21，得n2(，1)因为n1n2(1,1,0)(，1)0，所以n1n2.从而平面POD平面PAC.(2)因为y轴平面PAB，所以平面PAB的一个法向量为n3(0,1,0)由(1)知，平面PAC的一个法向量为n2(，1)设向量n2和n3的夹角为，则cos.由图可知，二面角BPAC的平面角与相等，所以二面角BPAC的余弦值为.22011全国卷 如图四棱锥SAB
10、CD中，ABCD，BCCD，侧面SAB为等边三角形ABBC2，CDSD1.(1)证明：SD平面SAB；(2)求AB与平面SBC所成的角的大小参考解法：以C为坐标原点，射线CD为x轴正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设D(1,0,0)， 则A(2,2,0)，B(0,2,0) 又设S(x，y，z)， 则x0，y0，z0.(1)(x2，y2，z)，(x，y2，z)，(x1，y，z)，由|得，故x1，由|1得y2z21，又由|2得x2(y2)2z24，即y2z24y10，故y，z.于是S，0，0. 故DSAS，DSBS，又ASBSS，所以SD平面SAB.(2)设平面SBC的法向量a(m，n，p)，则a，a，a0，a0.又，(0,2,0)，故 取p2得a(，0,2)又(2,0,0)，所以cos，a. 故AB与平面SBC所成的角为arcsin.孙平：中学高级教师。安徽省中学数学特级教师，合肥市第二届中小学学科带头人，巢湖市第三届中小学学科带头人，合肥市、巢湖市数学会理事，是原地级巢湖市高考质量检测命题组核心成员，长期从事基础教育教学研究，多年从事毕业班教学工作；在核心期刊数学通报、中学生数理化、中学数学教学参考、教学月刊. 中学版等期刊上发表教育教学论文几十篇。邮编238062 电邮 电话0565-88316359
