高考必做的百例导数压轴题◇导数专题目 录一、导数单调性、极值、最值的直接应用 （1）二、交点与根的分布 (23）三、不等式证明 （31)（一）作差证明不等式 （二）变形构造函数证明不等式(三）替换构造不等式证明不等式四、不等式恒成立求字母范围 (51）（一）恒成立之最值的直接应用（二）恒成立之分离常数（三）恒成立之讨论字母范围五、函数与导数性质的综合运用 （70）六、导数应用题 （84）七、导数结合三角函数 （85）书中常用结论⑴，变形即为，其几何意义为上的的点与原点连线斜率小于1.⑵⑶⑷一、导数单调性、极值、最值的直接应用1. (切线)设函数1）当时，求函数在区间上的最小值;（2）当时，曲线在点处的切线为,与轴交于点求证：.解：(1）时，，由，解得. 的变化情况如下表：01—0+0↘极小值↗0 所以当时，有最小值2)证明：曲线在点处的切线斜率 曲线在点P处的切线方程为 令，得，∴ ∵，∴,即 又∵，∴ 所以。
2. （2009天津理20，极值比较讨论）已知函数其中⑴当时，求曲线处的切线的斜率；ww.k.sc.o.m ⑵当时，求函数的单调区间与极值.解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法⑴⑵ wu.c.om 以下分两种情况讨论:①＞，则＜.当变化时，的变化情况如下表:+0—0+↗极大值↘极小值↗ w.wu.c.o.m ②＜，则＞，当变化时，的变化情况如下表：+0—0+↗极大值↘极小值↗ wu.c.o.m 3. 已知函数⑴设两曲线有公共点，且在公共点处的切线相同,若，试建立 关于的函数关系式,并求的最大值；⑵若在(0,4）上为单调函数，求的取值范围4. （最值，按区间端点讨论）已知函数f（x）=lnx－1）当a>0时，判断f（x)在定义域上的单调性;（2)若f(x）在［1,e]上的最小值为,求a的值.解：(1）由题得f（x)的定义域为（0，＋∞），且 f ′（x)＝＋＝∵a〉0，∴f ′(x)〉0，故f（x）在(0,＋∞）上是单调递增函数.(2)由（1)可知：f ′(x)＝，①若a≥－1，则x＋a≥0，即f ′(x)≥0在[1,e]上恒成立，此时f（x)在[1,e］上为增函数，∴f（x)min＝f(1)＝－a＝,∴a＝－ （舍去)。
②若a≤－e，则x＋a≤0，即f ′（x）≤0在[1,e]上恒成立，此时f（x)在［1，e］上为减函数,∴f(x）min＝f(e）＝1－＝，∴a＝－（舍去).③若－e
当时，在的最大值是，由，知不合题意当时,在单调递减，可得在上的最大值是，符合题意 所以，在上的最大值是时,的取值范围是6. （2010北京理数18）已知函数=ln(1+）-+(≥0）Ⅰ）当=2时,求曲线=在点（1,(1)）处的切线方程；(Ⅱ)求的单调区间解:（I）当时，，由于，，所以曲线在点处的切线方程为 即（II）,.当时,所以，在区间上,；在区间上， 故得单调递增区间是，单调递减区间是.当时，由，得,所以，在区间和上，;在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是.当时, 故得单调递增区间是.当时,，得,所以没在区间和上，；在区间上，故得单调递增区间是和，单调递减区间是7. （2010山东文21，单调性)已知函数 ⑴当时，求曲线在点处的切线方程； ⑵当时，讨论的单调性解：⑴⑵因为 ， 所以 ，， 令 8. （是一道设计巧妙的好题，同时用到e底指、对数，需要构造函数，证存在且唯一时结合零点存在性定理不好想,⑴⑵联系紧密)已知函数⑴若函数φ (x) = f (x)－，求函数φ (x)的单调区间；⑵设直线l为函数f (x）的图象上一点A（x0，f (x0））处的切线，证明：在区间（1,+∞）上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g(x)相切．解：（Ⅰ） ，．∵且，∴∴函数的单调递增区间为． （Ⅱ）∵ ，∴，∴ 切线的方程为, 即， ① 设直线与曲线相切于点，∵，∴,∴,∴。
∴直线也为， 即， ② 由①②得 ，∴． 下证：在区间(1,+）上存在且唯一.由（Ⅰ）可知,在区间上递增．又,，结合零点存在性定理，说明方程必在区间上有唯一的根,这个根就是所求的唯一,故结论成立．9. （最值应用,转换变量)设函数．(1）讨论函数在定义域内的单调性；（2)当时，任意，恒成立，求实数的取值范围．解:⑴．当时，，增区间为，减区间为，．当时,，减区间为．当时，，增区间为,减区间为，．⑵由⑴知，当时，在上单调递减，∴，≤,即≤．∵恒成立，∴＞,即，又，∴．∵，∴,∴≤．10. （最值应用)已知二次函数对都满足且，设函数（，）．（Ⅰ）求的表达式；（Ⅱ)若，使成立,求实数的取值范围； （Ⅲ）设，，求证:对于，恒有． 解：（Ⅰ）设，于是所以 又，则．所以． …………3分 （Ⅱ）当m〉0时,由对数函数性质，f（x）的值域为R；…………4分当m=0时，对，恒成立; …………5分 当m<0时，由，列表:x－0＋减极小增 所以若,恒成立，则实数m的取值范围是． 故使成立,实数m的取值范围．…………9分（Ⅲ）因为对,所以在内单调递减．于是记，则所以函数在是单调增函数， 所以，故命题成立． …………12分11. 设是函数的一个极值点。
1）求与的关系式(用表示)，并求的单调区间；（2）设，若存在,使得 成立，求的取值范围.解：（1）∵ ∴ 由题意得：，即，∴且令得,∵是函数的一个极值点 ∴，即 故与的关系式为 当时，，由得单增区间为：;由得单减区间为:和；当时，，由得单增区间为：；由得单减区间为：和；（2)由（1）知：当时，，在上单调递增，在上单调递减,,∴在上的值域为. 易知在上是增函数， ∴在上的值域为 由于，又∵要存在，使得成立，∴必须且只须解得:. 所以,的取值范围为 12. ． （1)若，求函数的极值; （2)若是函数的一个极值点,试求出关于的关系式（用表示)，并确定的单调区间； （3)在（2）的条件下，设，函数．若存在使得成立，求的取值范围．解：（1）∵当时,,则.令得，∵,∴，解得∵当时,，当时，当时∴当时，函数有极大值，，当时,函数有极小值，．(2）由(1)知∵是函数的一个极值点 ∴即,解得 则＝令，得或∵是极值点，∴，即 .当即时，由得或由得当即时，由得或由得综上可知:当时,单调递增区间为和，递减区间为当时，单调递增区间为和，递减区间为3）由2）知：当a〉0时，在区间（0，1）上的单调递减，在区间（1,4）上单调递增， ∴函数在区间上的最小值为 又∵，，∴函数在区间［0，4］上的值域是，即］ 又在区间［0，4]上是增函数， 且它在区间[0，4]上的值域是。
∵－＝＝, ∴存在使得成立只须 －〈1．13. (2010山东，两边分求，最小值与最大值)已知函数.⑴当时，讨论的单调性；⑵设当时，若对任意,存在，使，求实数取值范围.解：本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起，考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题，考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力；考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力1）直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性；(2）利用导数求出的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出在闭区间［1,2]上的最大值,然后解不等式求参数.⑴,令①当时,，当，函数单调递减;当，函数单调递增.②当时，由，即,解得.当时,恒成立,此时，函数单调递减;当时,，时,函数单调递减；时，,函数单调递增；时，，函数单调递减.当时，当,函数单调递减;当，函数单调递增.综上所述：当时，函数在单调递减，单调递增；当时,恒成立,此时,函数在单调递减;当时，函数在递减，递增，递减.⑵当时，在(0,1)上是减函数，在(1，2）上是增函数，所以对任意，有，又已知存在,使，所以，，（※）又当时，与（※)矛盾;当时，也与(※)矛盾；当时，.综上，实数的取值范围是。
14. 设函数．（Ⅰ）当时，过原点的直线与函数的图象相切于点P，求点P的坐标；(Ⅱ）当时，求函数的单调区间；（Ⅲ）当时，设函数，若对于],［0，1]使≥成立，求实数b的取值范围.(是自然对数的底，）解：函数的定义域为， （Ⅰ）设点，当时，，则，，∴解得，故点P 的坐标为（Ⅱ）∵ ∴ ∴当，或时,当时，故当时，函数的单调递增区间为；单调递减区间为，。