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1、绥化学院本科毕业设计（论文）二次型及应用学生姓名： 学 号： 年 级： 指导教师： Suihua University Graduation Paper Quadratic Form and Its Applications Student name Student number Major Supervising teacher Suihua UniversityIII摘 要二次型是线性代数的重要内容之一，二次型的理论起源于解析几何学中二次曲线方程和二次曲面方程化为标准形问题首先，介绍了二次型的基本理论，然后研究了二次型的应用，包括在多元函数极值、线性最小二乘法、证明不等式以及二次曲线中的应
2、用一些矩阵的问题可以转化为二次型，用二次型的方式去解决，方便而快速关键词：二次型；标准型；矩阵；应用AbstractQuadratic form is one of the import contents in linear algebra, which originated from problem of put quadratic curve equation and quadric equation into standard form in analytic geometry. Firstly, the paper introduces basic theories. Secondly
3、, the paper studies applications of quadratic form, including extremum problems of multi-variable functions, linear least square method, proving inequality and quadratic curve. Some problem can be converted into quadratic form to solve, which is convenient and fast.Key words: quadratic form; standar
4、d form; matrix; applications目 录摘 要IABSTRACTII第1章 二次型的基本理论1第1节 二次型的概念及相关定义2第2节 替换后的二次型与原二次型的关系3第3节 写出二次型的方法3第4节 二次型的标准型4第5节 二次型在复数域下的规范型8第6节 二次型的一般定理10第2章 二次型的应用12第1节 多元函数极值12第2节 线性最小二乘法15第3节 证明不等式17第4节 二次曲线19结 论21参考文献22致 谢23 第1章 二次型的基本理论在这一节,我们首先回顾高等代数中关于二次型的一般理论设是一个数域，个文字 的二次齐次多项式称为数域上的一个元二次型，简称二次型
5、当为实数时，称为实二次型；当为复数时，称为复二次型设阶对称矩阵,则元二次型可表示为下列矩阵形式.其中.对称矩阵称为二次型的系数矩阵，简称为二次型的矩阵二次型与非零对称矩阵一一对应即，给定一个二次型，则确定了一个非零的对称矩阵作为其系数矩阵；反之,给定一个非零的对称矩阵，则确定了一个二次型以给定的对称矩阵为其系数矩阵如果二次型中只含有文字的平方项即,称为标准型.在高等代数的教材中，还有以下关于二次型理论的结果第1节 二次型的概念及相关定义1.1二次型的表示二次型可唯一的表示成：，称为二次型的矩阵形式，其中，为对称矩阵，称为二次型的矩阵(都是对称矩阵)，称的秩为二次型的秩1.2线性替换设是两组文字
6、，系数在数域中的一组关系式 （11）称为由到的一个线性替换，或简称线性替换用矩阵形式可写为,其中，如果系数行列式，那么线性替换（1-1）就称为非退化的(或可逆的, 或满秩的) 数域上的矩阵称为合同的，如果有数域上的可逆的矩阵，使1.3二次型的正定、负定与不定 设是一实二次型，对于任意一组不全为零的实数，如果都有，那么称为正定的；如果都有，那么称为负定的；如果都有，那么称为半正定的；如果都有，那么称为半负定的；如果它既不半正定又不半负定，那么就称为不定的第2节 替换后的二次型与原二次型的关系设，,是一个二次型，作非退化线性替换 ， (12)我们得到一个的二次型 ， (13)把（13）代入（12）
7、，有， 容易看出，矩阵也是对称的事实上，由此，即得这就是前后两个二次型的矩阵关系数域上 矩阵,称为合同的，如果有数域上可逆的矩阵，使因此，经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型的矩阵是合同的第3节 写出二次型的方法正确写出二次型的矩阵是化简二次型的基础对于含个变元的二次型，可以按下述方法得到二次型的矩阵，的主对角线上的元素依次为二次型的平方项的系数，而的第行第列元素是交叉项的系数的一半，在取即得到对称矩阵，于是这个二次型就可以用矩阵形式表示为，其中注一个二次型的矩阵之所以要求是对称矩阵，原因之一是使得二次型矩阵是唯一确定的例1 写出二次型的矩阵：解应注意由可知右端的二次型为4 元二次型
8、，虽然二次型右边表达式中没有含有的项，但其对应矩阵必须补零做成4阶对称矩阵为.第4节 二次型的标准型二次型中最简单的一种是只包含平方项的二次型4.1二次矩阵变合同矩阵数域上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换变成平方和的形式不难看出，上面二次型的矩阵是对角矩阵，则反过来，矩阵为对角形的二次型就只含有平方项所以经过非退化的线性替换，二次型的矩阵变到一个合同的矩阵4.2对称矩阵与对角矩阵在数域上，任意一个对称矩阵都合同于一对角矩阵也就是说，对于任意一个对称矩阵都可以找到一个可逆矩阵使成对角矩阵4.3可逆的线性变换二次型经过非退化线性替换所变成的平方和称为的一个标准型例1 用可逆的线性变换化二次
9、型为标准型方法1 配方法用配方法化二次型为标准型的关键是消去交叉项，其要点是利用两数和的平方公式与两数平方差公式逐步消去非平方项并构造新平方项分两种情形来处理：（1）二次型中含某个变量的平方项和交叉项先集中含的交叉项，然后与配方，化成完全平方，令新变量代替各个平方项中的变量，即可做出可逆的线性变换，同时立即写出它的逆变换（即用新变量表示旧变量的变换），这样后面求总的线性变换就比较简单每次只对一个变量配平方，余下的项中不应在出现这个变量，再对剩下的个变量同样进行，直到各项全化为平方项为止（2） 二次型中没有平方项，只有交叉项先利用平方差公式构造可逆线性变换，化二次型为含平方项的二次型，如当的系数
10、时，进行可逆的线性变换代入二次型后出现平方项，在按情形（1）来处理方法2 初等变换法用可逆的线性变换使化为二次型为标准型，相当于对于对称矩阵找到一个可逆矩阵使，其中，即合同于对角矩阵由于可逆矩阵可以写成若干个初等矩阵乘积，即，从而有，根据初等矩阵的性质，由上式即可得到用初等变换法化二次型为标准型的步骤如下：第一步写出二次型的矩阵，并构造矩阵；第二步进行初等变换，当化为对角矩阵时，单位矩阵也相应地化为可逆矩阵；第三步可逆线性变换化二次型为标准型例 2 化下列二次型为标准型，并写出所用的可逆线性变换解方法1 （配方法）令 即 得令即 则的标准型为所用的可逆线性变换为.方法2 初等变换法二次型的矩阵
11、为由于，故可逆线性变化，化二次型为.用正交变换化二次型为标准型的步骤将元实二次型用正交变换化为标准型的步骤是：第一步写出二次型的矩阵，则是是对称矩阵；第二步求阶正交矩阵，使得；第三步正交变换化二次型为例 3 求一正交变换，化二次型为标准型解二次型的矩阵为由，得的特征值为,可求得对应的特征向量为，将其正交化，得，再单位化，得 ，又对应的特征向量为，单位化得故正交变换为化二次型为.第5节 二次型在复数域下的规范型设是一个复系数二次型经过以适当的非退化线性替换后变成标准型不妨假定它的标准型是 (14)易知就是的矩阵的秩因为复数总可以开平方，我们再作一非退化相性替换 (15)（14）式就变成 (16)
12、（16）式称为复二次型的规范形显然，规范形完全被原二次型矩阵的秩所决定5.1规范型任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范行是唯一的再来看实数域的情形设是以实系数的二次型经过某一非退化线性替换，在适当排列文字的次序可使变成标准形 ， (17)其中，是的矩阵的秩因为在实数域中，整实数总可以开平方所以再作一非退化线性替换（17）式就变成 (18)（18）式称为实二次型的规范形显然，规范形完全被，这两个数所决定5.2逆线性变换任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变为成规范形，且规范形是唯一的 第6节 二次型的一般定理6.1惯性定理在实二次型的规范形
13、中，正平方形的个数称为的正惯性指数；负平方项的个数称为的负惯性指数；它们的差称为的符号差6.2矩阵的全部特征值元实二次型（是实对称矩阵，可以经过变量的正交变换为正交阵），可化为，这里是矩阵的全部特征值6.3最大（小）特征值设元实二次型，则在条件下的最大（小）值恰为矩阵的最大（小）特征值 例1 设为阶正定矩阵，与是实向量，为实数，则实函数当时，取得最小值证明，因正定，所以存在(对称)而,，因此其中，因正定，故当且仅当时，取最小值0，从而当且仅当，取得最小值 第2章 二次型的应用第1节 多元函数极值在实际问题中经常要遇到求三元以上函数的极值问题，对此可由二次型的正定性加以解决1.1梯度 设元函数在的某个邻域内有一阶、二阶连续偏导数记， 称为函数在点处的梯度1.2驻点满足的点称为函数的驻点
