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1、 初中数学最短路径问题典型题型及解题技巧最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。考的较多的还是“饮马问题”。知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路：找点关于线的对称
2、点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。一、两点在一条直线异侧最小。二、 两点在一条直线同侧例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区 、 提供牛奶，奶站应建在什么地A BA C BAC BC A最小作点 关于直线+ACC所求的点三、一点在两相交直线内部1 分析：当 AB、BC 和 AC 三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小AMNEB在ACE 中，AC+CEAE, AC+CE+MNAE+MN,即 AC+CD+DB AM+MN+BN所以桥的位置建在 CD 处，AB 两地的路程最短。aDCE2 河边什么地方，可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。作法
3、：作点 B 关于直线 a 的对称点点 C,连接 AC 交直线 a 于点 D，则点 D 为建抽水站的位置。证明：在直线 a 上另外任取一点 E，连接 AE.CE.BE.BD,点 B.C 关于直线 a 对称,点 D.E在直线 a 上，DB=DC,EB=EC,AD+DB=AD+DC=AC,AE+EB=AE+EC在ACE 中，AE+ECAC,即 AE+ECAD+DB所以抽水站应建在河边的点 D 处，例：某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的 AO，BO)，AO 桌面上摆D满了桔子，OB 桌面上摆满了糖果，坐在 C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程
4、最短？MAONCEB作法：1.作点 C 关于直线 OA 的对称点点 D,2. 作点 C 关于直线 OB 的对称点点 E,3.连接 DE 分别交直线 OA.OB 于点 M.N，则 CM+MN+CN 最短O例：如图：C 为马厩，D 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马， ACHF3DB 先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。G作法：1.作点 C 关于直线 OA 的 对称点点 F,E案。四、点在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程）分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果4 故选 D）分析：把此长方体的一面展开，在平面
5、内，两点之间线段最短利用勾股定理求点A 和 B 点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得解：因为平面展开图不唯一，2222222225 ）分析：先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知解：有两种展开方法：=；将长方体展开成如图所示，连接 A、B，则 AB=所以最短距离 5；米解：如图，BC 即为大树折断处 4m 减去小孩的高 1m，则 BC=41=3m，AB=94=5m，在 RtABC 中，AC= =4=6 于是最短路径为：=2.60 米o小虫爬行的最短路线的长是圆锥的展开图的扇形的弧所n.则，n
6、8 22=一、题中出现一个动点。当题中只出现一个动点时 ,可作定点关于动点所在直线的对称点 ,利用两点之间线段最短 ,或三角形两边之和小于第三边求出最值.分析：作 E 关于 BD 对称点 E，E在 AB 上，有 PE+PC=PE+PCEC 易求 EC=26。7 二、题中出现两个动点。当题中出现两个定点和两个动点时,应作两次定点关于动点所在直线的对称点.利用两点之间线段最短求出最值。例：如图，在直角坐标系中有四个点 , A(-8,3),B(-4,5)C(0，。mn2777mxx 轴 y 轴的交点时等号成立),易求直线 AB解折式 y= 3 + 3 ,C0(0, 3 ),D0(- 2 ,0),此时
7、 n =-23(1)作定点关于动点所在直线的对称点,(2)同时要考虑点点,点线,线线之间的最短问题.8 分折:作 E 关于 AC 所直线的对称点 E,于是有,PE+PF=PF+PEEF,又因为 E 在 AB 上运动,故当 EF 和 AD,BC 垂直时，E0F 最短,易求E0F= 。分折：作 P 关于 OA，OB 对称点 P1，P2 。总之，在这一类动点最值问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或动点关于动点所在直线的对称点。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。1、运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之
8、和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点 到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同注意：利用轴对称解决最值问题应注意题目要 求 根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对
9、称点来解决解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题9分折:作 E 关于 AC 所直线的对称点 E,于是有,PE+PF=PF+PEEF,又因为 E 在 AB 上运动,故当 EF 和 AD,BC 垂直时，E0F 最短,易求E0F= 。分折：作 P 关于 OA，OB 对称点 P1，P2 。总之，在这一类动点最值问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或动点关于动
10、点所在直线的对称点。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。1、运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点 到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同注意：利用轴对称解决最值问题应注意题目要 求 根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处
11、构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题9分折:作 E 关于 AC 所直线的对称点 E,于是有,PE+PF=PF+PEEF,又因为 E 在 AB 上运动,故当 EF 和 AD,BC 垂直时，E0
12、F 最短,易求E0F= 。分折：作 P 关于 OA，OB 对称点 P1，P2 。总之，在这一类动点最值问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或动点关于动点所在直线的对称点。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。1、运用轴对称解决距离最短问题运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点 到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同注意：利用轴对称解决最值问题应注意题目要 求 根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法解决这类
13、最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题9
