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1、阅读材料丢番图 教学设计【教材分析】本节课内容选自义务教育教科书数学七年级上册（浙教版）第5章阅读材料丢番图，主要内容是丢番图墓志铭上的一首诗。该部分内容在一元一次方程的应用之后，需要以解应用题的一般步骤为基础。内容仅一首诗歌，但信息量大，可用算术、方程两种方法求解，可借此比较出方程方法的优越性，体现数学史的魅力。了解这部分内容，对增强数学学习兴趣很有意义。【学情分析】本节课的授课对象是七年级学生，从知识层面来说，学生已经学习了解一元一次方程及应用题，初步感受了方程方法的优越性，但还未完全掌握方程思想，对一些简单题目还习惯于用算术方法求解。从能力层面来说，七年级学生处于形象抽象思维向经验型的抽
2、象逻辑思维过渡的阶段，需要感性经验的直接支持。【教学目标】1. 通过了解数学家的墓志铭，感受数学史的魅力，目标达成率100%；2. 通过求解例题，掌握算术、方程两种解题方法，目标达成率90%；3. 通过归纳总结，比较算术、方程两种方法的特点，体会方程方法的优越性，目标达成率80%；【重点难点】重点：解一元一次方程应用题难点：在游戏中体会方程方法的优越性【教学方法】讲练结合法、自主学习法【教学过程】（一） 图片引入，感受数学历史师开场白：古往今来，在数学发展的历史上，许多数学家都留下了浓墨重彩的一笔。后人们为了纪念他们，或是遵循他们的遗愿，在他们的墓碑上留下了有意思的墓志铭。比如说，这是阿基米德
3、的墓碑，你能发现什么图形？（ppt展示图片）生预设：圆柱，球。师：这个圆柱的底面直径、高和球的直径相同。这样的圆柱与球，表面积之比与体积之比都是3:2，阿基米德认为这是他一生中最伟大的两个发现，所以他请后人们将这个模型刻在了他的墓碑上。师：再看鲁道夫的墓碑，外面一圈是什么图形？（生：圆）这上面记录了一串数字，是什么？（生：圆周率）师：鲁道夫一生致力于求解圆周率，他用割圆法将精确到小数点后第35位。后人们为了纪念他，将他算出的这一串数字刻在了他的墓碑上。那我们今天的主人公丢番图，他的墓碑上又有什么有趣的故事呢？（揭示课题，板书）设计意图：为了让学生对数学史产生兴趣，由数学家们的墓志铭引入了本课课
4、题；也使学生知道数学知识无处不在，应用数学无时不有。（二）例题解析，比较算术方程师：这是刻在丢番图墓碑上的一首诗歌，这首诗里藏着他的年龄。请同学们一起读一读这首诗。（师生共读诗歌）u 例题解析坟中安葬着丢番图，多么令人惊讶，它忠实地记录了所经历的道路.上帝给予的童年占六分之一，又过十二分之一，两颊长胡，再过七分之一，点燃起结婚的蜡烛.五年之后天赐贵子，可怜迟到的宁馨儿，享年仅其父之半，便进入冰冷的墓.悲伤只有用数论的研究去弥补，又过四年，他也走完了人生的旅途.请你算一算：（1）丢番图去世时的年龄；（2）丢番图几岁时，他的儿子出生。（5分钟，学生思考、解答）预设1：算术方法生： 师：你是怎么理解
5、这条算式的？生：5年和4年是具体的年份，除以他们所占的份额，就是单位1表示的年龄。师：有一些同学对于这条算式的理解还不够清晰。如果我们把丢番图的一生看作一段行程，当碰到很多量时，我们可以借助什么来理解题意？生：线段示意图。师：（ppt展示线段示意图） 师：（一段段展示）5年和前面的几分之一一样吗？从图上可以看出，具体的年份有几年？这9年所占的份额是？所以我们可以列出这条算式。预设2：方程方法生：设丢番图去世时的年龄是x岁。师：为什么这样设x？生：题中的几分之一都与去世时的年龄有关。师：所以我们要寻找题中最相关的量设未知数。你列出的方程是？生： 师：你是怎么寻找等量关系的？生：每小一段经历的年龄
6、加起来，就是他总的年龄。也可以从线段示意图上来看，每一小条线段相加就是总的线段。师：很好。设未知数，寻找等量关系，我们可以列出方程求解。预设3：数论角度生：年龄会是这些分母的最小公倍数，所以年龄为712=84。师：这位同学从整数倍数的角度看问题，很简便。师：结合线段示意图，大家能一起列出第二小问的式子吗？生齐答，师板书： 师小结：同学们提出了算术方法和方程方法，你更喜欢哪一种？为什么？预设1：算术。计算方便。预设2：方程。顺着题意，更好理解。师：如果我们用算术方法，是从已知量入手，寻找算理，列出算术。而用方程方法，则是从未知量入手，顺着题意理清等量关系，列出方程。在碰到更复杂、量更多的问题是，
7、你会选择哪一种方法？（生：方程）师：所以我们要感谢丢番图，方程思想就是他提出的。他在数学上还有哪些成就呢？让我们一起欣赏一段视频，请同学们在观看视频的过程中思考这一问题。设计意图：通过丢番图年龄问题，在两种方法中比较各自的优点以及解题的原理，引入丢番图的成就。（三）视频欣赏，了解代数产生u 视频欣赏：丢番图旁白：丢番图生于约公元246年，是古希腊亚历山大学后期的重要学者和数学家，他完全脱离了几何形式，对算术理论有深入研究，被后人称为“代数学之父”。古希腊数学兴趣中心在几何，他们认为只有经过几何论证的命题才是可靠的。为了逻辑的严密性，代数也披上了几何的外衣。一切代数问题，甚至简单的一次方程的求解
8、，也都纳入了几何的模式。直到丢番图，才把代数解放出来，摆脱了几何的束缚。他认为代数方法比几何的演绎陈述更适宜于解决问题，而在解题过程中显示出的高度巧思和独创性，在希腊数学中独树一帜。代数学区别于其它学科的最大特点是引入了未知数，并对未知数加以运算。而引入未知数，创设未知数的符号，以及建立方程的思想，都是丢番图创立的，并写进了丢番图的巨著算术。算术这本书是讲数论的，它讨论了一次、二次以及个别的三次方程，还有大量的不定方程。现在对于具有整数系数的不定方程，如果只考虑其整数解，这类方程就叫做丢番图方程，属于数论的一个分支。到了16世纪，这本书有了拉丁文译文，后来又出版了希腊文拉丁文对照本，正是这本书
9、引导费马走向近代数论之路，他在这本书上写了许多批注，包括著名的费马大定理，他还写道“我有一个美妙的证明，但是这里的空白太小，写不下”。师：看完视频，你觉得丢番图最重要的成就是什么？生预设：解放代数。师追问：代数学的最大特点是什么？生：有未知数。师：未知数就是丢番图引入的，他还做了什么？生：创设未知数的符号，建立方程的思想。师：丢番图做了三步：引入未知数、创设未知数的符号、建立方程的思想。那么引入未知数究竟有什么好处？方程思想究竟伟大在何处呢？让我们一起在一个游戏中感受方程的魅力。设计意图：通过丢番图的介绍视频，了解丢番图的成就，感受代数中方程思想最核心的内容。（四）游戏时间，体悟方程魅力u 【
10、活动】环节一：熟悉规则规则：6个同学围成一个圈，每个人在任务单上的外圈写下一个数（-10到10之间的偶数），并把自己写好的数只告诉与你相邻的两位同学。这样，你得到了两个数，请你算出它们的平均数，组内按顺序报出来并记录在内圈。师：你得到的已知数有几个？（9个）剩下三个数，你能不问其他同学，通过已知条件算出来吗？（生计算后，组内校对；师请最快的一组同学上台分享，将该生的9个数据抄在纸上，投影，请他展示思考过程）生预设（若为A同学）：已知F,A,B同学外圈的数，A与C的平均数为B的内圈，由此可求得C的外圈数；同理，通过F的内圈数，可求得E同学的外圈数；再去求D同学的数。追问：这三个数中，你可以一步直
11、接求得的有几个？（生：2个）师：也就是说，我们可以发现两条直接的等量关系。u 【活动】环节二：引入未知数（准备道具，遮住投影任务单中的外圈）师：假如说我们不在这一组，只听到了他们报出的平均数，现在已知数有几个？（生：6个）那么你能求出刚刚A同学写下的数吗？（先让学生独立思考，再小组讨论后，请生上台分享）生预设：设A同学想的数是x，根据B内圈的数，可求得C外圈数，同理可得E外圈数。因为C和E的外圈平均数是D的内圈数，可以列出方程（师板书）.追问：你怎么想到方程方法的？生预设：这是未知的数，方程可以从未知量入手。追问：为什么这样设x？生预设：这是我们要求的数，而且它和其他几个量都有关。师小结：这位
12、同学像丢番图一样，引入了未知数，并用含x的代数式表示了相关的量，找到等量关系列出了方程。有同学试着用算术来做吗？（生：做不出来）u 【活动】环节三：巩固方程思想小组讨论：若10个人参与这个游戏，他们可以在实数范围内任意想一个数，报出来的相邻两人的平均数如图所示，则报3的人心里想的数是 （请生上台分享）生预设：设报3的人心里想的数是x，可依次用含x的代数式表示出报5，7，9，1的人心里想的数，由报1，3的人心里想的数平均数是2，可列出方程。师小结：这位同学很熟练地运用了上一题的方程思想。当题中未知量变多的时候，方程为我们提供了一个更方便的解题思路。设计意图：在游戏中感受方程方法中引入未知数的好处，及用代数简洁地表示相关量的优越性。（五）课堂小结，列举方程优点师：这道题究竟能用算术方法来完成吗？留给同学们课后思考。就这道题而言，方程方法有什么优越性？预设：顺着题意更好理解，可以简洁的用一个未知数表示其他量师总结：所以，让我们一起感谢丢番图，正是他引入了未知数，创设了未知数的符号，建立了方程的思想，为我们推开了代数学的大门，使得数学向前发展了一大步。【板书设计】主板书：丢番图(1) 算术：方程：设丢番图去世时的年龄为x岁 (2) 副板书：（游戏环节二列出的方程）（游戏环节三列出的方程）【作业设计】1. 思考课上游戏的算术解法；2. 找一道题，对比算术解法与方程解法的优点.
