《(精品word)高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《(精品word)高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案.doc（21页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、(精品word)高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案抛物线xyOlFxyOlFlFxyOxyOlF定义平面内与一个定点和一条定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点叫做抛物线的焦点，直线叫做抛物线的准线。=点M到直线的距离范围对称性关于轴对称关于轴对称焦点（，0）(，0)（0，)（0，)焦点在对称轴上顶点离心率=1准线方程准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准线的距离焦点到准线的距离焦半径焦 点弦 长焦点弦的几条性质oxFy以为直径的圆必与准线相切若的倾斜角为,则若的倾斜角为，则 切线方程一 直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，消y得：（1)当k=0时，直线与抛物线的对称轴平行，
2、有一个交点；（2）当k0时， 0，直线与抛物线相交，两个不同交点； =0, 直线与抛物线相切，一个切点； 0,直线与抛物线相离，无公共点。（3） 若直线与抛物线只有一个公共点，则直线与抛物线必相切吗？(不一定）二 关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法直线: 抛物线， 联立方程法： 设交点坐标为,，则有,以及，还可进一步求出， 在涉及弦长，中点,对称，面积等问题时,常用此法,比如1. 相交弦AB的弦长 或 b。 中点, ， 点差法:设交点坐标为，代入抛物线方程,得 将两式相减,可得a. 在涉及斜率问题时，b. 在涉及中点轨迹问题时，设线段的中点为,， 即，同理，对于抛物线,若直线与抛物线相
3、交于两点,点是弦的中点,则有（注意能用这个公式的条件:1）直线与抛物线有两个不同的交点,2）直线的斜率存在，且不等于零)抛物线练习及答案1、已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q（2，1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为 。（，1）2、已知点P是抛物线上的一个动点,则点P到点（0，2）的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 。3、直线与抛物线交于两点，过两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为，则梯形的面积为 。4、设是坐标原点,是抛物线的焦点，是抛物线上的一点,与轴正向的夹角为，则为 。5、抛物线的焦点为,准线为，经过且斜率为的直线与抛物线在轴上方的部分
4、相交于点，,垂足为，则的面积是 。6、已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，点在上且,则的面积为 .7、已知双曲线,则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程为 。8、在平面直角坐标系中，有一定点，若线段的垂直平分线过抛物线则该抛物线的方程是 。9、在平面直角坐标系中，已知抛物线关于轴对称，顶点在原点，且过点P（2,4），则该抛物线的方程是 。10、抛物线上的点到直线距离的最小值是 。 11、已知抛物线y2=4x,过点P(4,0）的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B（x2,y2）两点,则y12+y22的最小值是 。3212、若曲线|1与直线没有公共点，则、分别应满足的条件是 。
5、=0,-1113、已知抛物线yx2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则AB等于（ ）CA。3 B.4 C。3 D。414、已知抛物线的焦点为，点,在抛物线上，且, 则有（） 15、已知点,是抛物线上的两个动点，是坐标原点，向量，满足。设圆的方程为。(1） 证明线段是圆的直径;(2)当圆C的圆心到直线x-2y=0的距离的最小值为时，求p的值.解： (1)证明1： ,，整理得： ，设M（x,y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则,即,整理得：，故线段是圆的直径.证明2： ,整理得: ，。(1）设(x，y)是以线段AB为直径的圆上则即，去分母得: ，点满足上方程，展开并将(1）代
6、入得：，故线段是圆的直径。证明3: ，整理得: ，（1）以线段AB为直径的圆的方程为，展开并将（1)代入得：，故线段是圆的直径(2)解法1：设圆C的圆心为C(x,y）,则，又因，,所以圆心的轨迹方程为，设圆心C到直线x-2y=0的距离为d，则,当y=p时，d有最小值,由题设得，.解法2： 设圆C的圆心为C（x,y），则,，又因,，所以圆心的轨迹方程为,设直线x2y+m=0到直线x-2y=0的距离为，则，因为x-2y+2=0与无公共点，所以当x-2y-2=0与仅有一个公共点时,该点到直线x2y=0的距离最小值为将（2）代入(3)得，解法3： 设圆C的圆心为C（x,y),则圆心C到直线x2y=0的
7、距离为d，则，又因，,，当时，d有最小值,由题设得，.16、已知椭圆C1：，抛物线C2:，且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点。(1)当AB轴时，求、的值,并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB上;（2）是否存在、的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的、的值;若不存在，请说明理由。解：（1）当ABx轴时，点A、B关于x轴对称，所以m0,直线AB的方程为x=1,从而点A的坐标为（1,）或（1，). 因为点A在抛物线上，所以，即. 此时C2的焦点坐标为（,0）,该焦点不在直线AB上。（2）解法一当C2的焦点在AB时，由(）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为。AyB
8、Ox由消去y得. 设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2），则x1,x2是方程的两根，x1x2。因为AB既是过C1的右焦点的弦，又是过C2的焦点的弦,所以,且。从而.所以,即。解得。因为C2的焦点在直线上，所以。即.当时，直线AB的方程为;当时,直线AB的方程为.解法二当C2的焦点在AB时,由（）知直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为.由消去y得。 因为C2的焦点在直线上，所以，即。代入有.即. 设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2），则x1，x2是方程的两根，x1x2.由消去y得. 由于x1，x2也是方程的两根,所以x1x2。从而。 解得.因为C2的焦点在直线上，
9、所以。即。当时，直线AB的方程为；当时，直线AB的方程为. 解法三设A、B的坐标分别为(x1,y1)， （x2,y2），因为AB既过C1的右焦点，又是过C2的焦点，所以。即。 由（)知，于是直线AB的斜率， 且直线AB的方程是，所以. 又因为,所以。 将、代入得，即。当时,直线AB的方程为;当时，直线AB的方程为。17、如图，倾斜角为a的直线经过抛物线的焦点F，且与抛物线交于A、B两点。(1）求抛物线的焦点F的坐标及准线l的方程;（2)若a为锐角，作线段AB的垂直平分线m交x轴于点P,证明|FP|-|FPcos2a为定值,并求此定值。(1）解：设抛物线的标准方程为,则，从而因此焦点的坐标为(2
10、,0）.又准线方程的一般式为。从而所求准线l的方程为。答（21）图（2）解法一：如图（21)图作ACl，BDl,垂足为C、D，则由抛物线的定义知|FA|=|FC,|FB=|BD|。记A、B的横坐标分别为xxxz，则|FA|AC|解得,类似地有,解得。记直线m与AB的交点为E，则，所以。故。解法二:设，,直线AB的斜率为，则直线方程为.将此式代入，得,故。记直线m与AB的交点为，则，故直线m的方程为.令y=0,得P的横坐标故。从而为定值。18、已知正三角形的三个顶点都在抛物线上，其中为坐标原点，设圆是的内接圆(点为圆心)(1)求圆的方程；（2）设圆的方程为，过圆上任意一点分别作圆的两条切线，切点
11、为，求的最大值和最小值（1）解法一：设两点坐标分别为，由题设知解得，所以，或,设圆心的坐标为,则，所以圆的方程为 解法二：设两点坐标分别为，由题设知又因为，可得即由，可知，故两点关于轴对称,所以圆心在轴上设点的坐标为，则点坐标为,于是有，解得,所以圆的方程为 （2）解：设，则 在中,，由圆的几何性质得,，所以，由此可得则的最大值为,最小值为19、若A、B是抛物线y2=4x上的不同两点，弦AB(不平行于y轴）的垂直平分线与x轴相交于点P，则称弦AB是点P的一条“相关弦.已知当x2时，点P（x，0）存在无穷多条“相关弦.给定x02。（1)证明：点P（x0，0)的所有“相关弦”的中点的横坐标相同；（
12、2）试问:点P（x0,0）的“相关弦的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值（用x0表示）：若不存在，请说明理由。解: （1）设AB为点P（x0，0）的任意一条“相关弦,且点A、B的坐标分别是(x1，y1）、（x2,y2）（x1x2）,则y21=4x1， y22=4x2,两式相减得(y1+y2)（y1-y2)=4(x1x2）。因为x1x2,所以y1+y20。设直线AB的斜率是k，弦AB的中点是M（xm, ym),则k=.从而AB的垂直平分线l的方程为 又点P（x0,0)在直线上，所以 而于是故点P（x0,0）的所有“相关弦”的中点的横坐标都是x0-2。(2)由（1）知，弦AB所在直线的方程是，代入中，整理得 (）则是方程（）的两个实根，且设点P的“相关弦”AB的弦长为l，则因为04xm=4（xm2) =4x08,于是设t=，则t(0，4x0-8）.记l2=g（t）=t2（x03）2+4（x0-1)2。，若x03,则2（x03） (0, 4x0-8），所以当t=2（x03),即=2（x0-3）时，l有最大值2(x01）。若2x03,则2(x03)0,g（t)在区间（0，4 x0-8）上是减函数，所以0l216(x0-2)，l不存在最大值.综上所述，当x03时，点P（x0，0）的“相关弦”
