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1、备战中考数学一元二次方程组(大题培优)含答案一、一元二次方程1使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点例如，对于函数，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数的零点己知函数(m为常数)（1）当=0时，求该函数的零点；（2）证明：无论取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为和，且，此时函数图象与x轴的交点分别为A、B(点A在点B左侧)，点M在直线上，当MA+MB最小时，求直线AM的函数解析式【答案】（1）当=0时，该函数的零点为和（2）见解析,（3）AM的解析式为【解析】【分析】（1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函
2、数的零点；（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明0即可；（3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A、B两点坐标，个、作点B关于直线y=x-10的对称点B，连接AB，求出点B的坐标即可求得当MA+MB最小时，直线AM的函数解析式【详解】（1）当=0时，该函数的零点为和（2）令y=0，得=无论取何值，方程总有两个不相等的实数根即无论取何值，该函数总有两个零点（3）依题意有，由解得函数的解析式为令y=0，解得A()，B(4,0)作点B关于直线的对称点B，连结AB，则AB与直线的交点就是满足条件的M点易求得直线与x轴、y轴的交点分别为C（10,0），D（0,10）连结CB
3、，则BCD=45BC=CB=6，BCD=BCD=45BCB=90即B（）设直线AB的解析式为，则，解得直线AB的解析式为，即AM的解析式为2如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=1（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上当PANA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标【答案】（1）y=（x+1）2+4，顶点坐标为（1，4）；（2）点P（1，2）；P（ ，）【解析】试题分析：（1）将B、C的坐标代入已知
4、的抛物线的解析式，由对称轴为即可得到抛物线的解析式；（2）首先求得抛物线与x轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA，从而得到方程求得x的值即可求得点P的坐标；，表示出来得到二次函数，求得最值即可试题解析：（1）抛物线与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为，解得：，二次函数的解析式为=，顶点坐标为（1，4）；（2）令，解得或，点A（3，0），B（1，0），作PDx轴于点D，点P在上，设点P（x，），PANA，且PA=NA，PADAND，OA=PD，即，解得x=（舍去）或x=，点P（，2）；设P(x，y)，则，=OBOC+ADPD+(PD+OC)OD=，当x=
5、时，=，当x=时，=，此时P（，）考点：1二次函数综合题；2二次函数的最值；3最值问题；4压轴题3在等腰三角形ABC中，三边分别为a、b、c，其中4，若b、c是关于x的方程x2（2k+1）x+4（k）0的两个实数根，求ABC的周长【答案】ABC的周长为10【解析】【分析】分a为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k值，将k值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出ABC的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式=0可求出k值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c的值，由b+c=a可得出此种情况不存在综上即可得出结论【详解】当a4为腰长时，将x4
6、代入原方程，得：解得： 当时，原方程为x26x+80，解得：x12，x24，此时ABC的周长为4+4+210；当a4为底长时，（2k+1）2414（k）（2k3）20，解得：k，b+c2k+14b+c4a，此时，边长为a，b，c的三条线段不能围成三角形ABC的周长为10【点睛】本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键4将m看作已知量，分别写出当0xm时，与之间的函数关系式；5从图象来看，该函数是一个分段函数，当0xm时，是正比例函数，当xm时是一次函数【小题1】只需把x代入函数表达式，计算出y的值，
7、若与表格中的水费相等，则知收取方案6有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】（1）5；（2）180【解析】【分析】（1）设平均一人传染了x人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x个人，根据题意得：x+1+（x+1）x36，解得：x5或x7（舍去）答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；（2）根据题意得：536180（个），答：第三轮将
8、又有180人被传染【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.7元旦期间，某超市销售两种不同品牌的苹果,已知1千克甲种苹果和1千克乙种苹果的进价之和为18元.当销售1千克甲种苹果和1千克乙种苹果利润分别为4元和2元时,陈老师购买3千克甲种苹果和4千克乙种苹果共用82元.（1）求甲、乙两种苹果的进价分别是每千克多少元？（2）在（1）的情况下，超市平均每天可售出甲种苹果100千克和乙种苹果140千克，若将这两种苹果的售价各提高1元，则超市每天这两种苹果均少售出10千克，超市决定把这两种苹果的售价提高x元，在不考虑其他因素的条件下，使超市销售这两种苹果共获利960
9、元，求x的值.【答案】（1）甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克；（2）的值为2或7.【解析】【分析】（1）根据题意列二元一次方程组即可求解,（2）根据题意列一元二次方程即可求解.【详解】（1）解：设甲、乙两种苹果的进价分别为元/千克, 元/千克. 由题得： 解之得： 答：甲、乙两种苹果的进价分别为10元/千克,8元/千克 （2）由题意得： 解之得：，经检验，均符合题意答：的值为2或7.【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元二次方程的实际应用,中等难度,列方程是解题关键.8已知、是关于的方程的两个不相等的实数根.(1)求实数的取值范围;(2)已知等腰的一边长为7，若、恰好是另外两
10、边长，求这个三角形的周长.【答案】（1）m2; (2)17【解析】试题分析：（1）由根的判别式即可得；（2）由题意得出方程的另一根为7，将x=7代入求出x的值，再根据三角形三边之间的关系判断即可得试题解析：解：（1）由题意得=4（m+1）24（m2+5）=8m160，解得：m2；（2）由题意，x1x2时，只能取x1=7或x2=7，即7是方程的一个根，将x=7代入得：4914（m+1）+m2+5=0，解得：m=4或m=10当m=4时，方程的另一个根为3，此时三角形三边分别为7、7、3，周长为17；当m=10时，方程的另一个根为15，此时不能构成三角形；故三角形的周长为17点睛：本题主要考查判别式
11、、三角形三边之间的关系，熟练掌握韦达定理是解题的关键9已知关于x的一元二次方程x2+(k+1)x+0 有两个不相等的实数根(1)求k的取值范围；(2)当k取最小整数时，求此时方程的解【答案】(1)k；(2)x10，x21【解析】【分析】(1)由题意得(k+1)24k20，解不等式即可求得答案；(2)根据k取最小整数，得到k0，列方程即可得到结论【详解】(1)关于x的一元二次方程x2+(k+1)x+0 有两个不相等的实数根，(k+1)24k20，k；(2)k取最小整数，k0，原方程可化为x2+x0，x10，x21【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c0(a0)的根的判别式b24ac：当0
12、，方程有两个不相等的实数根；当0，方程有两个相等的实数根；当0，方程没有实数根10如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？【答案】羊圈的边长AB，BC分别是20米、20米.【解析】试题分析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（1004x）米；然后根据矩形的面积公式列出方程试题解析：设AB的长度为x米，则BC的长度为（1004x）米 根据题意得 （1004x）x=400，解得 x1=20，x2=5 则1004x=20或1004x=80 8025， x2=5舍去 即AB=20，BC=20考点：一元
13、二次方程的应用11“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，按此规律，求图10、图n有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是61=6个；图2中黑点个数是62=12个：图3中黑点个数是63=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是 、 请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第5个点阵中有 个圆圈；第n个点阵中有 个圆圈（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵【答案】60个，6n个
14、；（1）61；3n23n+1，（2）小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵【解析】分析：根据规律求得图10中黑点个数是610=60个；图n中黑点个数是6n个；（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，第2个图中3为一块，分为6块，余1；按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n3（n1）+1=3n23n+1，（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵详解：图10中黑点个数是610=60个；图n中黑点个数是6n个，故答案为：60个，6n个；（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，第2个点阵中有：23+1=7个，第3个点阵中有：36+1=17个，第4个点阵中有：49+1=37个，第5个点阵中有：512+1=60个，第n个点阵中有：n3（n1）+1=3n23n+1，故答案为：60，3n23n+1；（2）3n23n+1=271，n2n90=0，（n10）（n+9）=0，n1=10
