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1、数列的通项与前项和的关系一、内容分析数列是高中数学的一项重要内容，而且是进行计算、推理等基本训练、综合训练的重要题材，是高考命题的热点之一。数列可以看作一类特殊的函数，因其特殊的定义域，从而具有了特殊的性质。数列的递推公式、前项和公式是数列的一种特有的一种表示方法，它与数列的通项公式一样可以揭示数列的本质。本节课通过数列的通项与前项和之间的基本关系，让学生掌握由前项和公式求通项、以及将其转化为递推公式求通项的基本方法，同时使学生借助递推思想，有效提高分析问题、解决问题的能力，对的讨论能够培养学生思维的严密性，提高学生的数学素养。二、学情分析高三学生在刚刚的期中考试前已经进行了函数知识的系统复习
2、，这为用函数思想研究数列问题已经作好前期铺垫。同时，我班学生在高二第一学期学习数列时，打下的基础也比较扎实，这都是本节课顺利教学的有利前提。本班大部分学生基础薄弱，学生在利用数列的通项与前项和之间的基本关系，转化为递推公式，从而确定数列为等差或等比数列，对于学生来讲比较困难；同时，对的分类讨论，对学生的思维严密性要求也比较高，学生在解决此类问题时，可能会出现困难和思维漏洞。三、教法分析本节课以学生为中心，以问题驱动、教师引动、师生互动引导学生主动探究，采用探究、启发式教学。本节课通过导学案，让学生复习回顾数列相关知识，以一道已知的表达式例题为切入点，通过不断变式，从而达到让学生“知一题”、“悟
3、一法”、“通一类”的教学目标。四、教学目标1、知道数列的通项与前项和的关系；掌握已知求的一般步骤；掌握数列递推公式和通项公式及其相互转化的方法；2、通过导学引导学生自主探究学习，经历问题探究，培养学生勇于探索和创新的精神，在相互交流中提升学生的数学表达能力、归纳能力，并形成严禁的思维习惯，获得发现的成就感，激发学生学习数学的兴趣； 3、渗透体育素养，培养团队精神，在民主、和谐的教学气氛中，促进师生情感交流。五、教学重点、难点:1、教学重点：已知求的一般步骤与规范书写。2、教学难点：落实数列的递推公式和通项公式及期相互转化的方法。六、教学流程复习回顾 新课展开 例题巩固 深化问题 课堂小结 布置
4、作业四、教学过程：教 学 内 容教 学 意 图（一）、复习回顾 问题引入问题1：数列的前项和如何表示？（） 问题2：已知，通过这个关系式如何求得？分析：问题3：这个式子中项数的范围是什么？（且，所以.） 问题4：也就是说，这个关系式求出的通项是数列中的任意一项吗？（不是，这个关系式只能表示第二项起的任意项，不包括首项.） 问题5：那么如果已知，如何求首项呢？（即可.） 得出结论：通项与的关系：思考：有A、B、C等7个足球队进行单循环比赛，每两个队之间都要赛一场，且只赛一场。胜者得3分，负者得0分，平局每队各得1分。比赛结果，各队得分由高到低恰好为一个等差数列，且总分。则获第3名的队得了_分。问
5、题驱动，引导学生复习回顾旧知。 以问题链形式，低起点，小坡度。注意分类讨论思想在该类题目中的应用.渗透体育素养，培养体育精神。足球运动是一项团体运动，再优秀的运动员也不可能凭一己之力撑起全场。足球精神是一种团队精神，正如我班获得区优秀集体，靠的就是团队精神和向心力。（二）、数学探究 有效互动【例题】已知数列的前项和如下，分别求出数列的通项公式：（1）； （2）.参考解答：（1）学生口述，教师板演：时，；时，满足上式， 所以。（2）投影（或学生上台板演）展示学生解题过程：时，；时，不满足上式， 所以。知一题教师板演，目的是为学生的解题书写提供一个示范，尤其对于分类讨论的要求，强调不能漏了的讨论.
6、 学生解答板演，给学生展示的机会。（三）、问题深化 变式训练如果给出与之间的关系式，又该如何求通项呢？变式1：已知数列的前项和为，且.（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列 的通项公式. 分析：证明一个数列是等比数列，一般用定义法，证明是非零常数，这里已知条件是和的关系式，因此首先用它们之间的基本关系：. 参考解答：（1）时，于是； 时，移项整理得， 即（常数），所以是等比数列，且首项为，公比. （2）由数列的首项，公比，故数列通项。【说明】例题中已知与的关系，此变式已知与的关系. 尽管两者都采用公式进行求解，但例题中使用该公式后直接得到通项公式，而变式1使用上述公式后得到的是数列的递推公式
7、，我们由此得到这是一个等比数列，然后将递推公式转化为通项公式. 归纳变式1的基本思路：已知条件为与的关系，则先用公式求得数列的递推公式，然后将递推公式转化为通项公式. 变式2: 设数列的前项和为，已知首项，且当时， 。（1）求证：是等差数列；（2）求数列的通项公式.分析：证明一个数列是等差数列，也是用定义法，即证明（）是为常数，式子中中的，应该用来代替.参考解答：（1）（），两边同除以，得，即（）。 所以是等差数列.（2）由于，（），故，即 解一：时， 将代入不符合，故 解二：（，）【说明】变式1是证明等比数列，变式2则证明为等差数列，同时难度大于变式1，同学之间可以分组讨论，合作交流，让学生
8、在合作交流过程中思维得到提升，培养创新精神，同时获得发现的成就感。归纳变式2的解题基本思路：已知条件为与的关系，可以用公式代入，转化为关于的递推关系，先求，再求. （四）、课后感悟 归纳小结今天这节课我们主要针对已知条件为和关系求通项公式，利用的公式是，主要采用两种方法：（1）用求得的递推公式，然后转化为的通项公式；（2）用代替，得到的递推公式，然后转化为的通项公式，再求.悟一法 从已知的基本关系式出发，寻找数列的通项满足的递推关系式，进一步得出数列是等比数列。 通过和例题的对比，归纳求解已知“与的等式关系”求解通项的一般思路.通一类引导学生观测分析问题，将题中的通项用代替，从而得到的递推关系
9、。求一步得证是等差数列。在求通项时，须对n进行讨论，这是一个难点，是学生的易错点。梳理知识，突出教学重点与解题方法。（五）作业布置 反思提升（基础题）1. 已知数列的前项和，则_。2.设数列的前项和为，且。 （1）与的递推关系式为_;（2）与的递推关系式为_。3.已知是数列an的前n项和，求an的通项公式：（1）； （2） 。（提高题）设数列的前项和为，且对任意正整数，。(1)求数列的通项公式；(2)设数列的前项和为，对数列，从第几项起？（能力题）设数列的前项和为，(1)求证：数列为等差数列，并分别写出和关于的表达式；(2)是否存在自然数，使得？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由基础题组目的是巩固和落实本节课的基本方法。提高题为上海高题题，高三学生必须达到这个能力。也可以让学生在正确解答下获得成功的体验。（六）板书设计 教学提纲教学反思与专家点评
