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1、雙曲線的光學性質22已知雙曲線： x2 y21，其兩焦點為 F(c,0)，F(c,0)，則由任一焦點射向雙曲線上任一點的光ab波或聲波，經該雙曲線反射後，其反射線的相反射線會經過另一焦點。證明：設 P(x 0 ,y 0 )為 上一點x0 2y0 2 1y2b2x0 2b 2 x02b2則220(a2 1)a2ab而過 P 的切線為 L： x02x y02y 1b 2 x 0 xa 2 y 0 ya 2 b 2ab直線 PF 的方程式為 yy0(xc)y 0 x(x 0 c)y cy 0 0x0c直線 PF的方程式為 yy0(xc)y 0 x (x 0 c)y cy 0 0x0c切線 L 與直線
2、 PF 的銳夾角為其法線向量 (b 2x 0 ， a2 y 0 )與(y 0 ， (x 0 c)之銳夾角 1切線 L 與直線 PF的銳夾角為其法線向量 (b 2x 0 ， a 2 y 0 )與 (y 0 ， (x 0 c)之銳夾角2cos 1 b 2 x0 y0a 2 y0 (x0c)(b2a 2 )x0 y0a 2cy0b4 x0 2a4 y0 2y0 2(x0c) 2b2 x0 2b4 x0 2a4 y02b 2(x0c) 2a2c2 x0 y0a2 cy0cy0 (cx0a2 )b2c2b 4 x02a 4 y022( c2b 2 )b 4 x02a4 y022 - 2cx 0a2(12
3、 )x 0- 2cx 02 x 0aacx0 a)cy0 (cx0a2)acy0 (acy0ab 4 x0 2a 4 y0 2( c x 0 - a) 2b4 x02a 4 y0 2 c x 0 - ab4 x0 2a4 y0 2aacos 2 b2 x0 y0a2 y0 ( x0c)(b 2a 2 ) x0 y0a 2 cy0b4 x0 2a 4 y0 2y0 2( x0c) 2b 2 x0 2b4 x0 2a 4 y0 2b2( x0c) 2a 2c2 x0 y0a2 cy0cy0 (cx0a 2 )22b 4 x02a4 y02(1b2 )x 022cx 0(c2b2 )b4 x02a 4 y02c 2x 022cx 0a 2aaccy 0 (cx0a2 )acy0 ( a x0a)acy0c4242 cb 4 x0 2a 4 y0 2b42a42a)2bay0ax0y0( x 0x0x 0aacos 1 cos 21 ，2 均為銳角12直線 PF、PF與過 P 點的法線夾角相等故由雙曲線任一焦點射向雙曲線上任一點的光波或聲波，經該雙曲線反射後，其反射線的相反射線會經過另一焦點。
