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1、定积分一、定积分的概念1. 定义：设函数在区间上有定义，如果和式极限存在（其中）则称这个极限为函数从a到b的积分，记作。2. 几何意义：当时，表示由x轴，直线x=b,x=b及曲线所围成的曲边梯形的面积。3. 运算法则(1) (2) (3) (4) 二、可积准则 1、可积准则：函数在闭区间可积的充要条件是0或 其中分别表示关于T的大和与小和，为振幅。 2.可积的必要条件：若函数在区间可积，则函数在有界。 3.可积的充分条件（1）若函数在闭区间连续，则函数在可积；（2）若函数在闭区间有界，且有有限个间断点，则函数在闭区间可积。（3）若函数在闭区间单调（可能有无限多个间断点）同函数在闭区间可积。 （
2、4）设函数在上的有界函数，则以下说法等价： 在上可积。 0，使4. 积分上限函数及其性质（1） 定义：设函数在上可积，则函数称为函数在上的积分上限函数（其中），（2） 性质： 如果在上可积，则积分上限函数在上连续。 如果在上连续，则积分上限函数可导，且5. 定积分的计算（1） 牛顿莱布尼兹公式（其中是的一个原函数）（2） 定积分的换元法（注意换元而且要换限）（3） 定积分的分部积分法6. 定积分的中值定理及性质三、定积分的应用1、微元法：曲边梯形的面积 物体运动的路程 变力所做的功 2.平面区域的面积 直角坐标系 参数方程 极坐标 若C的极坐标方程为 则面积 3.平面曲线的弧长：参数方程：，则
3、 弧长 直角坐标系： 弧长 极坐标 弧长 4.应用截面面积求体积 为截面面积5.旋转体体积 将区间上的连续曲线绕x轴旋转一周，所得旋转体的体积7. 旋转体的侧面积 将区间上非负连续曲线绕x轴旋转得到旋转体的侧面积为 若曲线由参数方程：给出，则侧面积为 若曲线由极坐标方程：给出，则侧面积为：四例题 1.证明：若函数在上可积，且，则存在某个闭区间 ，有。证 假设任意闭区间，总存在，使。给任意分法T，将分成个小区间：，.取，使，。作积分和有与已知条件矛盾，则存在某个闭区间，有，2.证明：若函数与在上同是单调增加或单调减少，则证法：应用定积分定义和不等式,其中与或与 证 已知函数与在上可积，从而在上也
4、可积，将等分成个小区间，取，由函数与在上有相同的单调性，由已知的不等式，有）或由定积分定义，当时，3.如果函数或在上可积，函数在上是否可积?解 不一定，例如函数 而或在上都可积，但是，函数在上却不可积。 反之，若函数在上可积，则在上可积。而在上也可积。（见练习题8.2第6题）4.证明：若函数在连续，非负，且，使则。证已知函数在连续，且根据连续函数的保号性，有设，且又已知有。于是5.证明：若函数在单调减少，则证 已知在单调减少，则在可积。将n等分，分点是：。有6.求下列定积分（1） （2） （3） 解 (1) (2) (3)设8. 求下列平面曲线所围成的区域的面积。（1） y=sinx,y=co
5、sx, （2） (0)（3） (0)解（1） （2），这是星形线所围成的区域。它关于x轴与y轴都对称。因此它的面积是第一象限那部分区域面积的4倍。 （4） 这是四叶玫瑰线，这四个叶关于x轴与y轴都对称，四叶玫瑰线围成区域的面积是第一象限一叶面积的4倍。8 积分第二中值定理的三种形式：（1）若函数在上单调减少，非负，函数在上可积，则存在，使 （2）若函数在上单调增加，非负，函数在上可积，则存在，使 （3）若函数在上单调, 函数在上可积，则存在，使证（1）给任意分法T，分点是。 已知函数在上有界，即，有又因在上可积，即 有从而作辅助函数则函数在上连续，设与分别是函数在上的最小值与最大值，注意到,有
6、=已知 有即 根据连续函数介值性，存在，使即（2）同法可证（设）（3）设函数在上单调增加，函数在上单调减少，非负。由（1）的结果，有或即9.证明，若函数在上有连续导数，且则证。由牛顿莱布尼兹公式，有 应用柯西施瓦兹不等式 于是， 练 习 题1,证明，若与在上可积，则在上也可积。2.证明，若函数在上单调减少，对任意，则3.证明：若函数与在上连续非负，且，则有不等式 称为赫尔德积分不等式4.证明：若函数与在上连续非负，且，则有不等式称为闵可夫斯基积分不等式 5.证明下列极限 （1） （2）6.应用定积分定义计算下列极限 （1） （2）7.证明：，其中为连续函数。8.求下列极限 （1） （2）9.求曲线与直线围成的平面图形的面积10.求心脏线： 围成的区域的面积。11. 求旋轮线：的弧长。12. 求阿基米德螺线： 弧长。13.求柱面与围成的体积14.求曲线绕x轴和y轴旋转所成曲面的面积。15.有内半径为10m的半球容器，其中盛满水，欲将水抽尽，求所作的功。
