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1、高中数学案例例谈如何上好选修2-2的“合情推理”课摘要:本文先论述“合情推理”的重要性,然后用具体案例,通过四个步骤再进一步阐述如何上好选修2-2的“合情推理”课。关键词:合情推理2008年3月10日，笔者参加了天台育清中学举行的高二数学新课程培训会，有幸听取了天台中学洪琼老师所讲的一节生动的观摩示范课合情推理，让我感受颇深，受益匪浅。此节课内容是新课标的亮点之一，实质上，推理与证明贯穿了高中数学的整个知识体系，但是，它作为一章内容出现在高中数学教材中，尚属首次。如此大手笔，这对我们高中数学老师来说，无疑是一个很大的挑战。何以上好这样的课，那的确需要我们一番研究与深思首先，我们来谈谈何为“合情
2、推理”，追根溯源，不难发现：合情推理也叫似真推理，或然推理，就是合乎情理，好似为真的一种推理形式。主要包括观察、比较、不完全归纳、类比、猜想、估算、联想、直觉、顿悟、灵感等思维形式。合情推理所得的判断不一定，但也不是凭空想象，它是依据一定的知识和方法做出的探索性判断。纵观人类发展史,每一个重要数学的发现,除演绎推理外还要大量地依赖于合情推理,如哥德巴赫猜想、费尔马大定理、四色问题等,甚至在其它学科的一些重大发现也是科学家通过合情推理，提出猜想、假说、假设，再经过演绎推理或实验手段得以证实的。如牛顿通过苹果落地而产生灵感,经过合情推理,提出万有引力的猜想，后来通过库仑的纽秤实验才得以证实海王星的
3、发现更是合情推理的典范,可见合情推理不仅是重要的,而且是十分必要的。虽然中学阶段的重要任务是学习各学科的基础知识,但它同时也是形成思维品质的关键时期,如果忽视了合情推理能力的培训,势必使学生的推理意识和能力形成缺陷,对今后的发展造成不可估量的损失。因此如何培养学生的合情推理能力，是势在必行的，以致新课程将其单独纳入一章内容，也是勿庸置否的。“合情推理”的重要性也正如波利亚所说的：“ 数学家的创造性工作成果是论证推理，即证明，但是这个证明是通过事情推理，通过猜想而发现的。只要数学的学习过程稍能反映出数学发明过程的话，那么应当让猜测、合情推理占有适当的位置。”究其重要性，笔者将以一则案例的教学对其
4、进行肤浅的阐述，权当抛砖引玉。（一） 案例预设，悬念导入美国数学家哈尔莫斯说：“问题是数学的心脏。”培养学生运用数学知识分析问题和解决问题的能力是中学数学教学的基本目标之一。在数学教学中，有意识地培养学生提出问题与解决问题的能力，并且让学生善于提出新奇的问题，会做“学问”，显得尤为重要。师：下列各题及其解答，有没有错?为什么?如果有错。请指出错在哪里，并加以纠正。请同学们独立思考，分析下面的问题？ 反思：采用这样的创设引入，笔者考虑了以下三个方面：1、呈现出原始问题（这些问题来源于学生作业本和参考资料），能够暴露出学生的真实思想，让学在“比较”与“批判”中发现问题，从而进一步拓展学生的思维空间
5、。2、使学生在检查与反思中，引发认知冲突，通过证实与证伪，激发学生自主探究和自我反省。3、通过推导过程中的“不等价代换”与“前提错误”的训练，把“潜在假设”的不合理性突现出来，提高学生的逻辑思维能力和分析问题与解决问题的能力，同时，培养学生的问题意识和思维品质的独立性与深刻性。总之，从某种意义上说，发现和提出一个有价值的问题。正如爱因斯坦所说的： “发现问题和系统阐述问题可能要比得到解答更为重要。解答可能仅仅是数学或实验技能问题，而提出新问题、新的可能性，从新的角度去思考问题，则要求创造性的想象，而且标志着科学的真正进步。”（二）寻找问题，积极探究师：从近阶段的练习中，我们暴露出许多具有普遍性
6、的问题，看起来完整无缺的解答，其实它是错误的。主要根源是什么呢?今天我们一起来探究上述四个问题，去寻找错误的根源。(给学生12-15分钟思考时间)。 师：教师:观察分析了这四个问题之后，大家发现了哪些问题？生：:第1题错在（2）式上，因为（1）与（2）两式是不等价的；第2题，错在（4）式上，因为（3）与（4）两式也是不等价；第3题目有一点问题，第（5）式应该加条件。反思：在解决上述问题的过程时，发现学生的积极性和主动性高涨，回答问题的热情大大提高，同学之间相互争论相当激烈。学生相互启发，相互补充，全都完整地找到。我认为：学生能从自己的错误中找问题，这是一种新的需要，而新需要和原有思维水平的对立
7、统一是学生思维发展的动力。 师：大家用智慧的眼睛找到了问题，那么你们是怎样发现问题的呢? 生1： 在第1题中，方法1，因为我知道.我用x1=l,x2=5就可以否定两者关系不等价；方法2，老师，我检验了几个数值发现的，因为解题结果是：，所以我取了:m=-4和m=-5，发现当m=-5时.方程的两个根是x1=5,x2=2,这不符合题目要求，顺着题目找到了错误；方法3，老师，我用数形结合的方法找到的，我把方程转化成二次函数。我就让这位同学作图板演分析。 生2：在第2题中，方法1，老师，这种做法我一般不用，因为两边平方必须在大于零的条件下进行，比较好，否则很容易引起增根的。我直接运用换元法找到了错误，也
8、就是：令，很快就找到答案了；方法2，利用函数的单调性解决更加快，因为的定义域为：，所以在区间上是增函数，答案就出来了。 生3：第3题，容易看出这两者是不等价的，必须检验n=1情形，我是用赋值法检验获得的，取a=c=1,b=0得Sn=n2+1,于是，S1=2，S2=5，S3=10，S4=17从面得出：a1=2,a2=3,a3=5,a4=7由此发现这时的an不是等差数列。反思：这是一节数学重点内容的合情推理课，每位学生能积极发言，你说罢我登场，课堂气氛非常活跃，激发了学生的思维活动，在教学反馈中，学生对这部分教学的效果相当好。我想，积极为学生创造各种主动发现的机会，鼓励学生积极参与课堂教学，在教学
9、活动中积极体验数学，发现数学问题，是教师课堂教学努力的方向。 （三）揭示实质，归纳小结在学生的回答中，说得最多的是体会到数学的严谨性和发现问题的乐趣，有学生提出让我多组织这样的课堂教学。在学生简单的话语中，这使我体会到：第一、通过学生独立思考与探索、相互讨论和相互提问学习，使学生深人参与整个教学过程，学生融人了数学课堂；第二、该案例的设计突出了学生已有基础、基本技能和学生接受知识的心理规律，使学习知识达到“最近发展区”的要求，符合了学生的心理需要；第三、要激发学生的求知欲，必须设计符合学生实际需要(实际需要必须建立在为主题教学服务的前提下)的案例。 （四）课后反思，深刻体会1、本节课从源于学生
10、自身的问题和参考资料编写的错误问题入手，通过学生找问题、提问题、解问题的教学途径，有利于增强学生学习数学的自主性，提高学生发现问题、分析问题和解决间题的能力。通过本节课的学习，使学生的求知欲由潜伏状态转入活跃状态，有力地调动学生思维的积极性和主动性，使学生由被动接受知识，变为接受知识与主动探究并举，学生将运用所学的基础知识和基本技能及分析方法，对发现的问题进行思考、分析和探索.开拓了学生对知识思考的广度和深度，充分体现了学生在学习中的主体地位。2、从教学过程看，本节课增加了教师和学生之间的互动关系。教学中，教师与学生的关系是“师生互补，教学相辅”。学生积极参与，在思考和探索与课堂讨论等环节中发挥主体作用，而教师在整个教学中则始终起着“导演”的作用。既要选择好的“剧本”，即符合教学需要的情境，又要在课堂讨论中审时度势，因势利导，让每一个学生得到充分的发挥，获得最大的收效。3、案例设计以开放性的问题作为切人口，让学生从不同角度，运用不同的思想方法,对案例进行的观察和探索。在案例设计中，创设了多条探索的路径，使不同基础、不同思维层次的学生都有表现的机会，从而有效的提高了各层次上的学生的数学水平。参考文献：1 波利亚 怎样解题 科学出版社 19822 任樟辉 数学思维论 广西教育出版社 19963 郑毓信 数学方法沦 广西教育出版社 20011
