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1、容斥问题一直是公务员考试备考中不可缺少的一部分。很多同学 在做容斥问题，尤其是三者容斥问题的时候常常会考虑不周，缺了一 个部分又多了一个部分。所以接下来要给大家提供一个万能型的容斥 公式，所有的三者容斥问题就迎刃而解了。如图所示，我们用同一字母表示同一属性的区域。斜线部分：表 示只喜欢一者，用“a”来表示;打点部分：表示只喜欢两者，用“b” 来表示;空白部分：表示三者都喜欢，用“c”来表示;而集合外的部分 表示三者都不喜欢，用“d”来表示。AB因此，根据图形，就有了以下几个公式：O=a 只喜状诸） =b （只喜欢2者） C_） y（者都喜炊集舍外二d （3者都不真欢）1. a + b+c+d=
2、I（只喜欢1者+只喜欢2者+3者都喜欢+3者都不 喜欢二总集）2. a+2b+3c=A+B+C（三个集合相加时，喜欢1者的部分加了 1 次，2者的部分加了 2次，喜欢3者的部分加了 3次）3. b+3c=X+Y+Z（题目中的固定表达方式为喜欢A和B的有X人、喜欢A和C的有Y人，喜欢B和C的有Z人） 一、容斥问题容斥问题即包含与排斥问题，它是一种计数问题。在计数时，几 个计数部分有重复包含时，为了不重复计数，应从他们的和中排除重 复部分，采用这种计数方法的题型称为容斥问题。二、题目特点题目中给出多个概念，概念之间存在交叉关系。三、常考题型1、二者容斥问题公式：覆盖面积二A+B-A与B的交集例1：
3、大学四年级某班有50名同学，其中奥运会志愿者10人， 全运会志愿者17人，30人两种志愿者都不是，则班内是全运会志愿 者且奥运会志愿者的同学是多少？A.6 B.7 C.8 D.9解析：两个概念分别的奥运会志愿者和全运会志愿者，设班内是 全运会志愿者且奥运会志愿者的同学有X人，则有10+17-X+30二 50,所以X=7,即班内是全运会志愿者且奥运会志愿者的同学有7人。2三者容斥问题公式：覆盖面积二A+B+C-两者交-2x三者交例2:某调查公司对甲、乙、丙三部电影的收看情况向125人进 行调查，有89人看过甲片，有47人看过乙片，有63人看过丙片， 其中有24人三部电影都看过，20人一部也没有看
4、过，则只看过其中 两部电影的人数是多少人？A、69 B、65 C、57 D、46解析：三个概念分别是甲片、乙片、丙片，假设只看过其中两部 电影的人数有X人，则89+47+63-X-2x24+20=125.所以X=46. 即只看过其中两部电影的人数有46人。3.容斥极值问题容斥极值最常考的就是容斥交集的最小值，我们可以套用公式解 决。 (ACB)二A+B-I (I表示全集) (ACBCC)二A+B+C-2I(A0BnCnD)=A+B+C+D-3I例3:小明、小刚、小红、小英四人一起参加一次英语考试，已知 考试共有100道题，且小明做对了 79题，小刚做对了 88题，小红 做对了 91题，小英作对了 89.问题： 小明和小刚都最对的题目至少有几题？ 小明、小刚、小红都最对的题目至少有几题？ 小明、小刚、小红、小英四人最对的题目至少有几题？解析： 小明和小刚都最对的题目至少有79+88-100=67人 小明、小刚、小红都最对的题目至少有79+88+91-2x100=58 小明、小刚、小红、小英四人最对的题目至少有79+88+91+89-3x100=47 人。
