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1、200822大半径小圆弧测量方法及误差分析杜存飞王康为（河南神火集团刘河煤矿河南永城4 7 6 6 0 0）摘要】大半径小圆弧因可测量的圆弧段太小而影响测量结果.引起较大的测量误差。通过数学分析找到了大半径小圆弧测量的误差来【源，证明了直接测量的局限性。探讨了以三坐标测量机测量小圆弧的方法，最 后在此基础上提出并验证了一种新的测量方法。关键词】大半径小圆弧；测量；误差分析【Measureme ntofLa r g e R a d i u d E r r o r A nalysisnf e i , W a n g K a ngwei(H ehen h u o G r o u p, Yonghen
2、g476600, C h ia)tAban b e m e a1,e m e nt rserro rsourceandpr0Vethe1i m 1 ta t i0n0rec11y m easuredResea r che d o ns m a1aerr0rThePaPerthr0ugh m ath e m at i csanta us es g r eae rf dr calyzefindit,m easu r e m e n t m eth0dw1ththe C o ord Tna t eMeasure m e ntMachnesfna11 y. basedo n th i s pr0p o
3、 s e d a ndcertf1edane wm easure m en t m etho dKeywords La rgeradiussmal 1 a rc ;Meas u r e m e nt;Eroan a 1 y s i s、引言所谓大半径小圆弧.是指3 0。以下圆心角所对的圆弧，在三坐标测究其原因，在于被测量机上测量其圆弧半径时.不易测准，误差很大1 O圆弧只是整圆的一部分，圆弧越短，则被丢弃的信息越多，从而引起较大的测 量误差。圆弧测量的主要参数有圆心坐标、半径和圆度等。显为e 2,通常情况 下，e 1 e 2,取e = e 1+ e 2, e为圆弧符合条件时形状误差然，圆心坐
4、标的测量是最关键的，有了准确的圆心位置.其他参数就迎测量最大值。那么.刃 而解了。在实际测量中.圆心坐标的测量准确度较难保证.用圆弧所如图3 AA 1 BtB 1 CtC 1圆心OtM 1造成半径实测值R 1偏大，对的圆心角的大小， 可作为衡量的指标，但当这个圆心角不断缩小时，当AA1=BB1=CC1=e 时.R 1为最大。这个附加误差将会迅速增大，直至达到测量机误差的几十倍、几 百倍。如图4AtA2BtB2CtC2,圆心2造成半径实测值R 2偏小,从而造成测量结果很不准确，重复性很差2。当AA2 = BB2 = CC2 = e时，R 2为最最小。由于工件表面的形状误差与仪器的测量误差的必然存
5、在，造成所测三点的必然 偏离，总的来说.其最大偏离可以造成以下两个结果，如图4所ZF。图3、假设圆弧的形状公差(圆度或轮廓度)为e 1,仪器测量的不确定度二、数学模型圆弧测量在实践中有多种多样的方法，但归根到底它们的数学模型都是建立在 直角坐标法和极坐标法基础上的。1直角坐标法见图1,直角坐标法多见于三坐标测量机中，用于各种零件的测量。直角坐标 系下圆的一般方程为：(x - x 0) + (y-yO)二 R222 0三、误差分析4以图？为例，建立坐标系.可见圆的方程为：x + (y - b 1 ) = R 1其圆心坐标为 M 1 (0, b1)即 x + y- 2b1y = R1-b1其中三点
6、A 1、B 1、C 1点的坐标分别为2222222(3)(4)(1)图1直角坐标法图2极坐标法x = - ( R - e ) sin (a/2)% &y 二(R-e) cos ( a / 2 ) x(R - e ) sin (a/2) B%&y 二(R-e) cos ( a / 2 )x = 0 C %& y 二 R + e A 11 1将三点坐标代入式(4)得到按照这个方程，平面上不重合的三点可确定一个唯一的圆；也就是说，圆周上测量不重合的三个坐标点，就可以确定圆的参数，如圆心坐半径R等。标(x 0, y 0)、2极坐标法见图2,极坐标法就是广泛使用的回转测量法.常用于整圆的回转测量。圆的
7、极坐标方程如式(2 )所示：n - ee s in (e) =#R -! r (0 + e c o s (o-eO) 0)(R + e) - 2 b 1 (R + e)二(R - e) - 2 b 1 (R - e) c 0 s (a / 2) b 1 =2 R e2 e =1 - c 0 s (a / 2) + (1 + c o s (a / 2)2 e e 当 Re,则 e 0 则 b 二二sin (a / 4)2 2(5)(6)(2)回转法找出r与e的对应关系，同直角坐标系一样，由实测不重合通过适当的数据处理可得到圆心0 (e等参数。在实际的三点i (e1).0)测量中，为简化计算量我们
8、常把O 点和0点重合在一起3。1 - 1) e (7)sin (a / 4) 1 差放大倍数N b = b = (8)sin (a /4) - 1 (9) NaR =aR / e = 1sin (a / 4)其中：N b为圆心坐标误差放大倍数：N为半径测量误差放大倍RAR = R -(R + e - b 1 ) = b 1 - e =(数。分析图4情况发现误差放大倍数公式相同，仅误差数据符号相反.下表列出 了测量误差与圆心角的关系。通过公式推导，可以发现：圆心坐标和半径误差仅与圆心角及形状误差值有 关.而与半径大小无关。误差放大倍数与形状误差大图3实测值R偏大图4实测值R偏小1 82 0 0
9、8 2 2小无关，仅与圆心角a有关；并随着a的缩小会急剧放大。有 了放大该函数关系表明，当圆心角较倍数公式.可以找到测量不准确的原因。小，圆弧较短时，较小的形状误差被成倍放大.形成了很大的测量误差，可将 原本符合形状公差及尺寸要求的圆弧.测量成为不合格产品。如表1中所示，当e =5 um,圆心角小于6 0。，半径测量误差可以达到时，测量误差，则为0 . 1 2 6mm ;圆心角小于1 5。0 . 0 7m m ;圆心 角小于4 5。将超过1 mm。表1输入圆弧R理论值及其形状公差来判断是否合格。用同样的方法在短圆弧的起 点、终点和中间点，分别测出其半径值都在形状公差范围内为合格，只要有超差，
10、就判不合格，再重新测量直至其半径值在形状公差范围内。在实际工作中，曾多次 运用该测量新方法测量小圆弧.结果令人满意。当然，如此测量的前提是，必须有 该圆弧形状公差要求5。四、结论通过上面圆弧测量的误差分析，对于一小段圆弧当圆心角较小，圆弧较短时， 较小的形状误差被成倍放大，形成了很大的测量误差。传统的均匀采样并采用最小 二乘法数据处理方法，对小圆弧测量是有局限性的。笔者在此基础上提出了一种新 的测量方法，并在实际工作中验证了该方法的优越性，从而提高对短圆弧的测量精 度.在现阶段先进的“过程质量控制”中发挥重要作用6。科参考文献】【1 陈甚伟三坐标测量短圆弧和短直线J 机械工人：冷加工，2 00
11、 2 ( 6) :5 7 - 5 8. 2刘炳辉短圆弧测量的误差估计J 计量技 术.1 9 9 8 ( 1 1) : 1 1 1 3 . 3袁道成，伏德贵.圆弧测量误差分析 及其应用J 计量技术，1 9 9 9 ( 7) : 1 5 1 7 . 4蒲竞秋短圆 弧测试方法与误差分析J 机械.2 0 0 2 (2 9) : 3 53 6 . 5马 斌臣三坐标测量机技术论文集M.青岛.海克斯康测量技术有限公司以上分析可以证明.不能直接测量短圆弧的半径与圆心位置.但是，并不能说明短圆弧是不能测量的，而其测量的关键，在于圆弧形状公差的 设计以及形状误差的测量。根据上述分析说明，由于放大系数的存在，使圆弧
12、半径 和圆心位置的测量数据不可信.那么.要避开放大系数的唯一办法，就是测量圆弧 的形状误差在实际生产中为完成短圆弧的精密测量，确定工件加工的符合性.我 们假设该段圆弧的圆心位置与半径尺寸为理论值，然后按图纸建立被测工件的零件 坐标系，根据图纸数据在零件坐标系中创建短圆弧的圆心点，然后用三坐标测头在 短圆弧上采点，每采一点就计算出到圆心点到该点的二点距离，2 0 0 4, 152 161.6张国雄.三坐标测量机M.天津：天津大学出版社，1 9 9 9.作者简介：杜存飞（1 9 7 9）,男.河南永城人.河南神火集团刘河煤 矿.车间主任，助理工程师，研究方向：机电一体化。王康为（ 1 9 7 6）
13、,男，河南神火集团助理工程师，研究方向：机电一体 化。责任编辑：田瑞鑫（上接第7页）好的创新环境。在此基础上，构建一个宽松的有利于师生发展 成长的创新机制，这既可增强师生对学校的向心力和认同感，也能使师生认知自己 具有关乎学校发展的重要责任.使个体意识融汇成群体意识，积极主动地参与到学 校发展事业中来。科作者简介：王健，黑龙江大学艺术学院.职务：团委书记，研究方向：思想政治工作。和谐校园视基金项目：本文为黑龙江大学管理科研规划项目野下的思想政治工作的机制研究（编号：G K G 0 7 1 9）阶段性成果。责任编辑：田瑞鑫为矩阵A A和A A的非（上接第3 0页）其中（1 = 0, 1，r -
14、1 ）零本征值，u i和v i分别为AA和AA对应于入的本征向量。上述分解i为 A的奇异值。称为矩阵A的奇异值分解（SVD） , #i推论35,TT系数是K - L变换的展开系数。)co i = U ( x 1 - gTi=1, 2., M (2 . 1 9)系数向量3即是参与训练的样本Xi的特征向量。i对于任意待识别样本f,可以通过向本征向量组成的子空间u%U o. u 1 , .uM- 1&投影求出其系数向量，U = A V A由于可表示为T T)(x i -卩)二 1 X X二 1 S (xi -卩i=0, x 1 -(.1, . x M - 1 -|.i& x 0 -n其中，X =%M- 1-1(2.15)y = u (f -卩其重建图像(2.2 0) (2.21)(2.16)5 = U y + |.i f系数向量y即是反映待识别样本
