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1、5.3.1 函数的单调性（第1课时）一、内容和内容解析1.内容函数的单调性与函数导数的正负之间的关系，根据导数的正负性判断函数的单调性.2.内容解析单调性是函数的重要性质，它反应了函数变化的趋势.虽然可以通过函数图像的升降观察函数的单调性，但对大多数函数而言，直接画出其图像不是一件容易的事情.至于根据函数单调性的定义去判断函数的单调性，则由于含字母的代数式值的大小比较通常较困难，所以也不是通性通法.导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化，因而可以利用导数更加精确地研究函数的性质.有了导数，可以把函数单调性的判断问题转化为导数的运算问题，通过函数导数的正负性判断出函数的单调
2、性，这种方法在解决函数的单调性问题时具有“普适性”.通过探究函数图像的升降与导数的正负之间的关系，得出可用导数判断函数单调性的结论与方法，这一过程中蕴含着数形结合的思想.利用函数的导数及其运算，将判断函数的单调性这一复杂问题，转化为步骤明确的运算问题，这又蕴含了重要的算法思想.用导数研究函数的单调性，对于培养学生利用函数模型描述客观事物的变化规律、解决优化等实际问题有着非常重要的意义，是提升学生的数学运算与数学建模素养的很好的载体.基于以上分析，确定本节课的教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调性.二、目标和目标解析1.目标（1）结合实例，借助几何直观探索并了解函
3、数的单调性与导数的关系，体会数形结合思想，发展直观想象素养.（2）能根据函数导数的正负判断函数的单调性，体会算法思想，发展数学运算素养.2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）对于给定的具体函数的图像，能借助导数的几何意义判断出导数的正负与函数的单调性的关系，将二者关联起来.（2）对于给定的函数，能利用导数求出函数的单调递增（递减）区间；能根据导函数的正负信息画出简单函数的大致图像.三、教学问题诊断分析由于高中数学课程不安排拉格朗日中值定理的内容，所以说明“若导数符号为正（或负），则函数是单调递增（或递减）函数”是非常困难的事情，这是本节课的教学难点之一.解决这个难点，除了充分利用导数的几何意
4、义，还要利用信息技术工具帮助学生观察、发现结论.利用导数判断函数的单调性时，经常会遇到导数在某个区间上存在零点，但函数在这个区间上仍然是单调递增（或递减）的问题（如），这也是本节课可能遇到的教学难点问题之二.对于这个难点，教师在教学时要用图像帮助学生加以分析与区别.四、教学过程设计引导语：在必修第一册中，我们通过图像直观，利用不等式、方程等知识，研究了函数的单调性、周期性、奇偶性以及最大（小）值等性质.在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化.能否利用导数更加精确地研究函数的性质呢？本节我们就来讨论这个问题.我们先来研究前面学
5、习过的高台跳水问题.（一）函数的单调性与函数导数的正负之间的关系问题1：下图（1）是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数的图像，图（2）是跳水运动员的速度随时间变化的函数的图像.是函数的零点.运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？师生活动：教师引导学生理解题意，观察图像，然后进行分析.学生观察并思考.设计意图：通过观察高台跳水问题中高度函数及其导函数的图像，使学生发现当函数在区间上可导时，函数在区间上的单调性与函数在上的导数的正负有关系.在这一过程中，提升学生的直观想象素养.追问1：我们看到，函数的单调性与的正负有内
6、在联系.那么，我们能否由的正负来判断函数的单调性呢？师生活动：教师归纳高台跳水问题中函数的单调性与导函数正负的关系，学生观看.追问2：观察下面一些函数的图像，探讨函数的单调性与导数的正负的关系.师生活动：教师带领学生逐个观察函数图像，分析函数的单调性与导函数的正负.然后为学生分析函数的单调性与导数的政府关系的一般性结论.最终得出结论：一般地，函数的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系：在某个区间上，如果那么函数在区间上单调递增；在某个区间上，如果那么函数在区间上单调递减.追问3：如果在某个区间上恒有那么函数有什么特性？师生活动：教师启发学生思考的几何意义，利用几何意义得出结论：如果在某个区间
7、上恒有那么在这个区间上恒有（为常数）.设计意图：通过对常见函数的单调性与函数导数的正负之间关系的探究，得出用导数的正负判断函数单调性的一般性结论，并由此让学生体会从特殊到一般的思想、数形结合的思想，发展学生的直观想象素养.（二）利用导数研究函数单调性的应用例1 （教科书第86页例1） 利用导数判断下列函数的单调性：（1）（2）（3）师生活动：教师展示解题过程，学生观看并思考设计意图：教师通过例题解答向学生示范如何用导数判断函数的单调性，发展数学运算素养.练习1 利用导数求下列函数的单调区间：（1）（2）（3）师生活动：教师展示解题过程，学生观看并思考设计意图：让学生通过练习熟悉用导数判断函数单
8、调性的步骤，巩固基础.例2 （教科书第86页例2）已知导函数的下列信息：当时，当或时，当时，试画出函数图象的大致形状师生活动：教师展示解题过程，学生观看并思考设计意图：通过示范讲解，让学生学会如何利用导函数的正负画函数的大致图像，使学生体会数形结合思想，发展直观想象素养.练习2 函数的图象如图所示，试画出函数图象的大致形状师生活动：教师展示解题过程，学生观看并思考设计意图：让学生学会如何利用函数图像确定导函数的正负，进而画导函数的大致图像，使学生体会数形结合思想，发展直观想象素养例3 （教科书第87页例3）求函数的单调区间.师生活动：教师展示解题过程，学生观看并思考设计意图：通过对例题的讲解，
9、让学生学会利用导数判断函数单调性的一般步骤，以及三次函数的图像特征和导函数的正负规律.练习3 判断下列函数的单调性，并求出单调区间：（1）（2）练习4 证明函数在区间上单调递减.师生活动：教师展示解题过程，学生观看并思考设计意图：对三次函数进行再练习，巩固利用导数判断函数单调性的一般步骤，进一步熟悉三次函数的图像特征和导函数的正负规律.（四）归纳总结、布置作业教师引导学生回顾本节知识：1、 函数的单调性与导函数的正负之间的关系：（1）在某个区间上，如果那么函数在区间上单调递增；（2）在某个区间上，如果那么函数在区间上单调递减.2、 利用导函数的正负画函数图像的大致形状；以及如何利用函数图像判断
10、导函数的正负，进而画出导函数的大致图像.3、 利用导函数的正负判断函数的单调性的一般步骤：第1步，确定函数的定义域；第2步，求出导数的零点；第3步，用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性.4、 我们通过这样的一般步骤，研究了几个三次函数的单调性问题.设计意图：对本节课进行小结，复习提升布置作业：教科书第97页习题5.3第1、2题五、目标检测设计1如图，已知汽车在笔直的公路上行驶（1）如果表示时刻时汽车与起点的距离，请标出汽车速度等于0的点；（2）如果表示时刻时汽车的速度，那么（1）中标出点的意义是什么？设计意图：考查学生对导数的几何意义及物理意义的理解2 函数的图象如图所示，试画出函数图象的大致形状.设计意图：考查学生对用导数刻画函数单调性的认识，体会函数与导函数之间的联系3 讨论函数在区间上的单调性，并求出单调区间.设计意图：考查学生对用导数判断函数单调性的掌握程度以及分类讨论的能力.2
