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1、知识框架圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论，即：AOB=DOE；AB=DE；OC=OF； 弧=弧1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：AOB和ACB是弧所对的圆心角和圆周角 AOB=2ACB2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；即：在中，C、D都是所对的圆周角 C=D推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在中，是直径
2、或C=90 C=90 是直径推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在中，OC=OA=OB 是直角三角形或C=90注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。【典型例题】考点一：圆心角，弧，弦的位置关系例1、如图，BE是半径为6的圆D的 四分之一圆周，C点是BE上的任意一点，ABD是等边三角形，则四边形ABCD的周长P的取值范围是（）例2、下列语句中正确的是（）A、相等的圆心角所对的弧相等 B、平分弦的直径垂直于弦 C、长度相等的两条弧
3、是等弧 D经过圆心的每一条直线都是圆的对称轴 例3、有下列说法：等弧的长度相等；直径是圆中最长的弦；相等的圆心角对的弧相等；圆中90角所对的弦是直径；同圆中等弦所对的圆周角相等其中正确的有（ ）例4、（2007重庆）如图，AB是O的直径，AB=AC，BC交O于点D，AC交O于点E，BAC=45，给出下列五个结论：EBC=22.5；BD=DC；AE=2EC；劣弧AE是劣孤DE的2倍；AE=BC其中正确结论的序号是 考点二：圆周角定理例1 如图， ABC中，A=60，BC为定长，以BC为直径的O分别交AB，AC于点D，E连接DE，已知DE=EC下列结论：BC=2DE；BD+CE=2DE其中一定正确
4、的有（ ） 例2、（2011衢州）一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥AB长100m，测得圆周角ACB=45，则这个人工湖的直径AD为（）例3、 （2010荆门）如图，MN是O的直径，MN=2，点A在O上，AMN=30，B为 AN的中点，P是直径MN上一动点，则PA+PB的最小值为（）、考点三：内接圆的四边形的性质例1、（2006宁德）如图，四边形ABCD为O的内接四边形，若BCD=110，则BAD为（）例2、（2008济宁）如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，若CAD=76，则CBD= 度例3、如图，四边形ABCD内接于O，AC平分BAD交BD于点E，O的半径为4，BA
5、D=60，BCA=15，则AE= 【课堂练习】1、（2004南宁）如图，D、E分别是O的半径OA、OB上的点，CDOA，CEOB，CD=CE，则 AC与 CB弧长的大小关系是 2、如图，已知AB是O的直径，PA=PB，P=60，则弧CD所对的圆心角等于 度3、（2009哈尔滨）如图，在O中，D、E分别为半径OA、OB上的点，且AD=BE点C为弧AB上一点，连接CD、CE、CO，AOC=BOC求证：CD=CE4、 （2011重庆）如图，O是ABC的外接圆，OCB=40，则A的度数等于（）5、（2011福建）如图，AB是O的直径，C，D两点在O上，若C=40，则ABD的度数为（）6、（2005镇江
6、）如图，O是等边三角形ABC的外接圆，D、E是O上两点，则D= 度，E= 度7、在ABC中，A=150，BC=6cm，则ABC的外接圆的半径为 cm8、如图，点A、B、C、D、E将圆五等分，则CAD 度。9、如图，点A、B、C在O上，C150，则AOB 。10、如图，ABC内接于O，AD是直径，AD、BC相交于点E，若ABC50，通过计算，请再写出其他两个角的度数（不添加新的字母或线段）： 。第8题 第9题 第10题11.如图所示，已知：AB和DE是O的直径，弦ACDE，求证：CE=BE 12如图所示，ABC为圆内接三角形，ABAC，A的平分线AD交圆于D，作DEAB于E，DFAC于F，求证：BE=CF 13如图所示，在ABC中，BAC与ABC的平分线AE、BE相交于点E，延长AE交ABC的外接圆于D点，连接BD、CD、CE，且BDA=60（1） 求证BDE是等边三角形；（2） 若BDC=120，猜想BDCE是怎样的四边形，并证明你的猜想。 3
