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1、专题05 平面解析几何1(2020河南省实验中学高三二测(理)设抛物线的焦点为,准线为,过抛物线上一点作的垂线,垂足为,设,与相较于点.若,且的面积为,则的值为( )AB2CD【答案】C【解析】根据已知,由,得,不妨设点在第一象限,则,即,所以,易知,所以,所以的面积是面积的3倍,即,所以,解得。2(2020湖南省长沙市明达中学高三二模(理)如图,平面直角坐标系中,曲线(实线部分)的方程可以是( )ABCD【答案】C【解析】因为曲线表示折线段的一部分和双曲线,A选项等价于或,表示折线的全部和双曲线,故A错误;B选项等价于或,又表示折线的全部,故B错误;C选项等价于或,表示折线在双曲线外部(包含
2、有原点)的部分,表示双曲线-,符合题中的图象,故C正确;D选项等价于或,表示折线在双曲线外部(包含有原点)的部分,和表示双曲线在x轴下方的部分,故D错误。3(2020江西省南昌市第十中学校高三模拟(理)已知双曲线的离心率为2,分别是双曲线的左、右焦点,点,点为线段上的动点,当取得最小值和最大值时,的面积分别为,则( )A4B8CD【答案】A【解析】由,得,故线段MN所在直线的方程为,又点在线段上,可设,其中,由于,即,得,所以由于,可知当时,取得最小值,此时,当时,取得最大值,此时,则。4(2020四川省成都市树德中学高三二诊(理)设为坐标原点,是以为焦点的抛物线上任意一点,是线段上的点,且,
3、则直线的斜率的最大值为( )A1BCD【答案】A【解析】由题意,抛物线的焦点坐标为,设,因为,即线段的中点,所以,所以直线的斜率,当且仅当,即时等号成立,所以直线的斜率的最大值为1。5(2020四川省成都市树德中学高三二诊(理)直线是圆:与圆:的公切线,并且分别与轴正半轴,轴正半轴相交于,两点,则的面积为_【答案】【解析】如图所示,设,由与相似,可得,解得,再由与相似,可得,解得,由三角形的面积公式,可得的面积为。 6(2020陕西省高三教学质量检测一(理)已知抛物线的焦点为F,过点F的直线交抛物线于M,N两点,直线与,的延长线交于P,Q两点,则( )ABCD【答案】D【解析】当直线垂直于x轴
4、时,与相似,所以;当直线不垂直于x轴时,设直线的方程为,设.联立得,所以,所以。综上,。7(2020吉林省高三二模(理)连接双曲线及的4个顶点的四边形面积为,连接4个焦点的四边形的面积为,则当取得最大值时,双曲线的离心率为( )ABCD【答案】D【解析】双曲线与互为共轭双曲线,四个顶点的坐标为,四个焦点的坐标为,四个顶点形成的四边形的面积,四个焦点连线形成的四边形的面积,所以,当取得最大值时有,离心率。8(2020黑龙江哈尔滨师大附中高三模拟(理)已知双曲线的左,右焦点分别为、,点在双曲线上,且,的平分线交轴于点,则( )ABCD【答案】B【解析】不妨设在双曲线的右支,且由余弦定理:由双曲线方
5、程:代入可得:代入可得:。9(2020黑龙江哈尔滨师大附中高三模拟(理)已知椭圆()的右焦点为,上顶点为,直线上存在一点满足,则椭圆的离心率取值范围为( )ABCD【答案】C【解析】取AP中点Q,故,故三角形AFP为等腰三角形,即,且由于P在直线上,故即解得:或,又,故。10(2020河南省安阳市高三一模(理)已知双曲线的右焦点为F,过右顶点A且与x轴垂直的直线交双曲线的一条渐近线于M点,MF的中点恰好在双曲线C上,则C的离心率为( )ABCD【答案】A【解析】双曲线的右顶点为,右焦点为, M所在直线为,不妨设,MF的中点坐标为.代入方程可得,(负值舍去),故选A。11(2020河南省安阳市高
6、三一模(理)过抛物线的焦点F作两条互相垂直的弦AB,CD,设P为抛物线上的一动点,若,则的最小值是( )A1B2C3D4【答案】C【解析】根据题意,可知抛物线的焦点为,则直线AB的斜率存在且不为0,设直线AB的方程为,代入得:.由根与系数的关系得,所以.又直线CD的方程为,同理,所以,所以.故.过点P作PM垂直于准线,M为垂足,则由抛物线的定义可得.所以,当Q,P,M三点共线时,等号成立,故选C。12(2020安徽省淮北市高三一模(理)已知双曲线的右焦点为,点,为双曲线左支上的动点,且周长的最小值为16,则双曲线的离心率为( )A2BCD【答案】B【解析】设双曲线的左焦点坐标为,因此有由双曲线
7、的定义可知:,所以周长为,当在线段上时,有最小值,最小值为5,因此有,所以离心率为:,故选B。13(2020北京市西城区高三一模)设则以线段为直径的圆的方程是( )ABCD【答案】A【解析】的中点坐标为:,圆半径为,圆方程为,故选A。14(2020湖南省长沙市明达中学高三二模(理)已知点是抛物线的对称轴与准线的交点,点为抛物线的焦点,点在抛物线上.在中,若,则的最大值为( )ABCD【答案】C【解析】由题意得,准线,过作,垂足为,则由抛物线定义可知,于是 ,在上为减函数,当取到最大值时(此时直线与抛物线相切),计算可得直线的斜率为,从而,。15(2020江西省南昌市第十中学校高三模拟(理)已知
8、双曲线()的左右焦点分别为,O为坐标原点,点M为双曲线右支上一点,若,则双曲线C的离心率的取值范围为_.【答案】【解析】法一:,,,,设,则,令,所以时,在上单调递增, ,.法二:,令,。16(2020北京市西城区高三一模)设双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线的离心率为_.【答案】【解析】,一条渐近线方程为:,故,.故答案为。17(2020安徽省淮北市高三一模(理)从抛物线图象上一点作抛物线准线的垂线,垂足为,且,设为抛物线的焦点,则的面积为_.【答案】10【解析】设点的坐标,焦点的坐标为,所以,的面积为,故答案为10。4(2020北京市平谷区高三一模)双曲线的一条渐近线方程为,那么它的离心
9、率为( )ABCD【答案】D【解析】双曲线的一条渐近线方程为,可得,双曲线的离心率,故选D。18(2020福建省厦门市高三质检(理)已知双曲线的右支与抛物线相交于两点,记点到抛物线焦点的距离为,抛物线的准线到抛物线焦点的距离为,点到抛物线焦点的距离为,且构成等差数列,则双曲线的渐近线方程为( )ABCD【答案】A【解析】设,抛物线焦点为,由已知有,即,由,两式相减得,即,故,渐近线方程为。19(2020福建省泉州市高三质检(理)已知双曲线C:(,)的实轴长为4,左焦点F到C的一条渐近线的距离为3,则C的方程为( )ABCD【答案】C【解析】因为实轴长,所以,由对称性,双曲线的一个焦点到两条渐近
10、线的距离相等,不妨取渐近线为,即,点到渐近线的距离,所以,所以C的方程为。20(2020福建省泉州市高三质检(理)已知抛物线E:的焦点为F,过F的直线l与E交于A,B两点,与x轴交于点.若A为线段的中点,则( )A9B12C18D72【答案】A【解析】依题意得,焦点,如图,因为为线段的中点,所以,代入抛物线方程得到,舍去正值,所以,解法一:,所以直线的方程为,将其代入,得,设,则,所以,故选:A.解法二:(几何法)延长交准线于,过点作垂直准线交准线于,过点作垂直准线交准线于,准线与轴交于点,中原点是线段的中点,所以点是线段的中点.易得,设,因为,所以,即,解得,因此。21(2020福建省泉州市
11、高三质检(理)在平面直角坐标系中,直线l:与曲线交于A,B两点,且,则( )ABC1D【答案】C【解析】直线,即,所以直线过定点,曲线是圆心为原点,半径的上半圆.过圆心作于,即,所以,圆心到直线的距离,解得,因为曲线是上半圆,结合图像可得,所以.故选C.22(2020河南南阳中学高三月考(理)函数的图象在处的切线被圆截得弦长为2,则实数a的值为_.【答案】-6或2【解析】因为所以代入切点横坐标,可知切线的斜率.又,所以切点坐标为,所以函数的图象在处的切线方程为.又因为圆圆心坐标为,半径为3,所以圆心到切线的距离.因为切线被圆截得弦长为2,则,解得实数的值是-6或2。23(2020陕西省高三教学
12、质量检测一(理)已知双曲线上存在两点A,B关于直线对称,且线段的中点在直线上,则双曲线的离心率为_.【答案】2【解析】点A,B关于直线对称,线段的中点在直线上所以得,设,所以将代入椭圆,则有两式相减得.,.点A,B关于直线对称,所以,即.双曲线的离心率为。24(2020吉林省高三二模(理)已知是抛物线上一点,是圆关于直线对称的曲线上任意一点,则的最小值为_【答案】【解析】假设圆心关于直线对称的点为,则有,解方程组可得,所以曲线的方程为,圆心为,设,则,又,所以,即,所以。25(2020福建省厦门市高三质检(理)已知圆:, 圆:. 若圆上存在点,过点作圆的两条切线. 切点为,使得,则实数的取值范
13、围是_【答案】【解析】已知有,即点的轨迹方程为圆:,问题转化为圆和圆有公共点,则,故,故答案为:。26(2020北京市平谷区高三一模)如果抛物线上一点到准线的距离是6,那么_.【答案】【解析】抛物线的准线方程为,由题意得,解得.点在抛物线上,。27(2020安徽省淮北市高三一模(理)已知椭圆过点离心率为.(1)求的方程;(2)如图,若菱形内接于椭圆,求菱形面积的最小值.【答案】(1);(2)4【解析】(1)由题意得又解得,.所以的方程为 (2)当与轴或轴重合时,可求菱形的面积为;当为时,为,由得,所以由弦长公式得,同理可得所以菱形的面积为,当且仅当时取等号.菱形面积的最小值为4。28(2020北京市平谷区高三一模)已知椭圆:的两个焦点是,在椭圆上,且,为坐标原点,直线与直线平行,且与椭圆交于,两点.连接、与轴交于点,.(1)求椭圆的标准方程;(2)求证:为定值.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】(1)因为,由椭圆的定义得,点在椭圆上,代入椭圆方程,解得,所以的方程为;(2)证明:设,直线的斜率为,设直线的方程为,联立方程组,消去,整理得,所以,直线的直线方程为,