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1、完好版利用角均分线结构全等三角形善于结构活用性质 / 安徽张雷几何问题中 ,若出现角均分线这一条件时 ,可联想角均分线的特点 ,灵便利用角均分线的特点来解决问题 .1.显“距离” , 用性质很多时候 ,题意中只给角均分线这个条件 ,图上并没有出现 “距离” ,而角均分线性质的运用又离不开这个“距离” ,因此同学们应英勇地让“距离”现身（过角均分线上的一点向角的两边作垂线段）例：三角形的三条角均分线交于一点，你知道这是为什么吗？解析：我们知道两条直线是交于一点的，因此可以想方法证A明第三条角均分线经过前两条角均分线的交点已知：如图， ABC 的角均分线 AD 与 BE 交于点 I，求证：H点 I
2、 在 ACB 的均分线上I证明：过点 I 作 IH AB 、IG AC 、IF BC ，垂足分别是点H 、G、FBD F点 I 在 BAC 的角均分线 AD 上，且 IH AB 、 IG AC IH=IG （角均分线上的点到角的两边距离相等）同理 IH=IF IG=IF （等量代换）又 IGAC 、IFBC点 I 在 ACB 的均分线上（到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的均分线上） .即：三角形的三条角均分线交于一点GEC【例 2】已知：如图， PA、 PC 分别是 ABC 外角 MAC 和 NCA 的均分线， ?它们交于点 P， PD BM 于 D ，PF BN 于 F求证： BP 为
3、 MBN 的均分线【解析】要证BP 为 MBN 的均分线，只需证PD=PF，而 PA、 PC 为外角均分线，?故可过 P 作 PE AC 于 E依照角均分线性质定理有PD=PE， PF=PE，则有 PD=PF，故问题得证【证明】过P 作 PE AC 于 EPA、 PC 分别为 MAC 与 NCA 的均分线且PD BM ，PF BNPD=PE，PF=PE, PD=PF又 PD BM ，PF BN, 点 P 在 MBN 的均分线上，即 BP 是 MBN 的均分线2.构距离 ,造全等有角均分线常常过角均分线上的点向角两边引垂线，依照角均分线上的点到角两边距离相等 ,可结构处相应的全等三角形而巧妙解决
4、问题例 3 ABC中， C=90， AC=BC， DA均分 CAB交 BC于 D 点，问能否在 AB?上确定一点 E 使 BDE的周长等于 AB 的长请说明原由解：过 D 作 DE AB，交 AB于 E点，则 E 点即可满足要求因为 C=90， AC=BC， 又 DE AB， DE=EBAD均分 CAB且 CD AC、 ED AB， CD=DE由“ HL”可证 Rt ACD Rt AED AC=AEL BDE=BD+DE+EB =BD+DC+EB =BC+EB=AC+EB =AE+EB =AB例 4 如图， B=C=90， M是 BC上一点，且 DM均分 ADC， AM均分 DAB求证： AD
5、=CD+AB证明：过 M作 ME AD，交 AD于 EDM均分 ADC， C=90MC=ME 依照“ HL”可以证得Rt MCDRt MED， CD=ED同理可得 AB=AE CD+AB=ED+AE=AD 即 AD=CD+AB3.巧翻折 , 造全等以角均分线为对称轴，结构两三角形全等即在角两边截取相等的线段，结构全等三角形例 5.如图，已知 ABC 中 BAC=90 ， AB=AC ，CD? 垂直于 ABC? 的均分线 BD 于 D， BD 交 AC 于 E，求证： BE=2CD 解析：要证 BE=2CD ，想到要结构等于2CD 的线段，结合角均分线，?利用翻折的方法把 CBD 沿 BD 翻折
6、，使 BC 重叠到 BA 所在的直线上， 即结构全等三角形 （ BCD BFD ），尔后证明 BE 和 CF（ 2CD ）所在的三角形全等F证明：延长 BA 、 CD 交于点 FA 5D4E312BCBD CF（已知） BDC= BDF=90 BD 均分 ABC （已知） 1= 2在 BCD 和 BFD 中2 1(已知 )BD BD (公共边 )BDCBDF (已证 ) BCD BFD （ ASA ）CD=FD ，即 CF=2CD 5= 4=90， BDF=90 3+ F=90， 1+ F=90。 1= 3。在 ABE 和 ACF 中45ABAC13(已证 ) ABE ACF （ ASA ）
7、BE=CF ， BE=2CD 。例 6. 如图，已知 AC BD、 EA、 EB 分别均分 CAB和C DBA，CD过点 E，则 AB 与 AC+BD?相等吗？请说明原由【解析】要证明两条线段的和与一条线段相等常常用的两种方法1 可在长线段上截取与两条线段中一条相等的一段，A?尔后证明节余的线段与另一条线段相等（割）2 把一个三角形移到另一地址，使两线段补成一条线段，再证明它与长线段相等（补）E DBFCEDC5 ED613 45624AFB132(1)A(2)B证法一：如图（1）在 AB上截取 AF=AC，连结 EF在 ACE和 AFE中ACAF1 2 AE AE ACE AFE（ SAS）,又,6=D在 EFB和 BDE中6 D3 4BEBE EFB EDB（ AAS） FB=DB AC+BD=AF+FB=AB 证法二：如图（ 2），延长 BE，与 AC的延长线订交于点 FAC PBDF4F=334在 AEF 和 AEB中F 31 2 AE AE AEF AEB（ AAS） , AB=AF， BE=FE在 BED和 FEC中5 6 BE FE 4 F BED FEC（ ASA） BD=FC, AB=AF=AC+CF=AC+BD
