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1、直线与平面的空间向量表示及其夹角_1理解直线的方向向量及平面的法向量；2能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；3能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理4能用向量方法解决直线与直线，直线与平面，平面与平面的夹角的计算问题；5了解向量方法在研究立体几何问题中的应用1直线的方向向量与平面的法向量的确定(1)直线的方向向量：l是空间一直线，A，B是直线l上任意两点，则称为直线l的方向向量，与平行的任意非零向量也是直线l的方向向量(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面内两不共线向量，n为平面的法向量，则求法向量的方程组为2用向量证明空间中的平行关系(1)设直线l
2、1和l2的方向向量分别为1和2，则l1l2(或l1与l2重合)(2)设直线l的方向向量为，与平面共面的两个不共线向量1和2，则l或l(3)设直线l的方向向量为，平面的法向量为u，则l或l(4)设平面和的法向量分别为u1，u2，则3用向量证明空间中的垂直关系(1)设直线l1和l2的方向向量分别为1和2，则l1l2(2)设直线l的方向向量为，平面的法向量为u，则l(3) 设平面和的法向量分别为u1和u2，则4空间向量与空间角的关系(1)设异面直线l1，l2的方向向量分别为m1，m2，则l1与l2所成的角满足cos _|cosm1，m2|(2)设直线l的方向向量和平面的法向量分别为m，n，则直线l与
3、平面所成角满足sin |cosm，n|(3)求二面角的大小()如图，AB，CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小_，()如图，n1，n2分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos|cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)5点面距的求法如图，设AB为平面的一条斜线段，n为平面的法向量，则B到平面的距离d规律方法(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算其中灵活建系是解题的关键(2)其一证明线线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向
4、量与平面内不共线的两个向量垂直即可当然也可证直线的方向向量与平面法向量平行其三证明面面垂直：证明两平面的法向量互相垂直；利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可类型一利用空间向量证明平行问题例：如图所示，平面PAD平面ABCD，ABCD为正方形，PAD是直角三角形，且PAAD2，E，F，G分别是线段PA，PD，CD的中点求证：PB平面EFG.练习：已知平面的一个法向量是n(1,1,1)，A(2,3,1)，B(1,3,2)，则直线AB与平面的关系是()AABBABCABDAB或AB类型二利用空间向量证明垂直问题例2：(2014辽宁)如图，ABC和B
5、CD所在平面互相垂直，且ABBCBD2，ABCDBC120，E，F分别为AC，DC的中点(1)求证：EFBC；(2)求二面角EBFC的正弦值练习：如图，四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O平面ABCD，ABAA1.证明：A1C平面BB1D1D.类型三利用空间向量解决探索性问题例3：如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD的中点 (1)求证：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由；(3)若二面角AB1EA1的大小为30，求AB的长练习：(2013北京卷)如图，在三棱
6、柱ABCA1B1C1中，AA1C1C是边长为4的正方形平面ABC平面AA1C1C，AB3，BC5.(1)求证：AA1平面ABC；(2)求证：二面角A1BC1B1的余弦值；(3)证明：在线段BC1上存在点D，使得ADA1B，并求的值类型四求异面直线所成的角例4：在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，求异面直线BA1与AC所成的角练习：练习已知正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA12AB，E是AA1中点，则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为()A.B.C.D.类型五利用空间向量求直线与平面所成的角例5：在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为AB、C1D1的中点，则A1B1与
7、平面A1EF夹角的正弦值为()A.B.C. D.练习1：正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是_练习2：在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为AB、CC1的中点，则异面直线EF与A1C1所成角的大小是_类型六利用空间向量求二面角例6：如图所示，P是二面角AB棱上一点，分别在，内引射线PM，PN，若BPMBPN45，MPN60，则二面角AB大小为_练习：如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，DAB60，AB2AD，PD底面ABCD.(1)证明：PABD；(2)若PDAD，求二面角APBC的余弦值1在正
8、方体ABCDA1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成的角的正弦值是()A.B.C.D.2.如图，过正方形ABCD的顶点A，引PA平面ABCD.若PABA，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是()A30B45C60D903将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，则下面结论错误的为()AACBDBACD是等边三角形CAB与平面BCD所成的角为60DAB与CD所成的角为604在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB2，BCAA11，则D1C1与平面A1BC1所成角的正弦值为_5.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC90，且ABAA1，D，E，
9、F分别为B1A，C1C，BC的中点求证： (1)DE平面ABC；(2)B1F平面AEF.6.(2014新课标全国卷)如图，三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，ABB1C.(1)证明：ACAB1；(2)若ACAB1，CBB160，ABBC，求二面角AA1B1C1的余弦值_基础巩固（1）1.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90，AA12，ACBC1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是()A.B.C.D.2.在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD平面ABCD，ABPDa.点E为侧棱PC的中点，又作DFPB交PB于点F，则PB与平面EFD所成角为()A30
10、B45C60D903如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是_4.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成角的大小是_5.正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，则直线BC与平面PAC所成的角是_能力提升（2）6.如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点(1)求证：MNAB，MNCD；(2)求MN的长；7.如图，在直三棱柱ADE BCF中
11、，面ABFE和面ABCD都是正方形且互相垂直，M为AB的中点，O为DF的中点求证：(1)OM平面BCF；(2)平面MDF平面EFCD.8.如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，H是正方形 AA1B1B的中心，AA12，C1H平面AA1B1B，且C1H. (1)求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；(2)求二面角AA1C1B1的正弦值；(3)设N为棱B1C1的中点，点M在平面AA1B1B内，且MN平面A1B1C1，求线段BM的长8.9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30. 9.如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AA1AD1，E为CD的中点(1)求证：B1EAD1；(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由
