《2023年学科优学中考冲刺资料中考题数形结合专题突破.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年学科优学中考冲刺资料中考题数形结合专题突破.docx（13页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、中考24题数形结合专题突破数形结合简介： 数形结合是一种数学思想方法，包括“以形助数”和“以数助形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的；或者是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。 几何知识涉及到等腰三角形和等腰三角形等，平行四边形、特殊平行四边形和等腰梯形或直角梯形，以及圆等图形。直击中考一、 与三角形相关的二次函数1.等腰三角形：【例1】 在
2、直角坐标平面内，为原点，点的坐标为，点的坐标为，直线轴（如图所示），点与点关于原点对称，直线（为常数）经过点，且与直线相交于点，联结 （1）求的值和点的坐标； （2）设点在轴的正半轴上，若是等腰三角形，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，如果以为半径的圆与圆外切，求圆的半径解析：（1）与关于原点对称， 过点， 当时，； （2）作轴于点，则， ， 若为等腰三角形，则有以下三种情况， 以为圆心，为半径作弧交轴的正半轴于点， 则，； 以为圆心，为半径作弧交轴的正半轴于点， 则， ， ，； 取的中点，过作的垂线交轴的正半轴于点， 则，易知， ， 综上所述，符合条件的点有三个，分别是，； （3）当时，
3、 ，的半径为， 与外切， 的半径为； 当时， 的半径为， 与外切， 的半径为； 当时， 的半径为， 与外切， 的半径为，即此时不存在。2.直角三角形【例2】 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点，点是点关于原点的对称点，联结，点是轴上的一个动点，设点的坐标为，过点作轴的垂线交抛物线于点. （1）求这个二次函数解析式； （2）当点在线段上运动时，直线交于点，当四边形是平行四边形时，求的值； （3）是否存在点，使是不以为斜边的直角三角形，如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由.解析：（1）用一般式或者两点式求解即可 （2） （3），二、与平行四边形有关的二次函数1.平行四边
4、形【例3】 已知：如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，点在线段上，且. （1）求点的坐标（用含有的代数式表示）； （2）将沿轴翻折，当点的对应点恰好落在抛物线上时，求该抛物线的表达式； （3）设点为（2）中所求抛物线上一点，当以、为顶点的四边形为平行四边形时，请直接写出所有满足条件的点的坐标 解析：（1）由题意，得：点，点 由知，点是的中点 （2）由题意，得： 把代入 ，得： 解得 该抛物线的表达式为（3）点的坐标为或或2.特殊平行四边形【例4】 已知平面直角坐标系（如图），一次函数的图象与y轴交于点，点在正比例函数的图象上，且二次函数的图象经过点、 （1）求线段的长； （2）
5、求这个二次函数的解析式； （3）如果点在y轴上，且位于点下方，点在上述二次函数的图象上，点在一次函数的图象上，且四边形是菱形，求点的坐标解析：（1）在一次函数中， 当时， ，为垂直平分线上的点， 可求垂直平分线上的解析式为， 又点在正比例函数， 又； （2）二次函数的图象经过点、 可得，解得，； （3）点在一次函数的图象上，则可设， 并设， 四边形是菱形， 解得，（舍去），将，代入三、与梯形有关的二次函数【例5】 在平面直角坐标系中（如图），已知抛物线与轴交于点和点，与轴交于点 . （1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴； （2）点为该抛物线的对称轴与轴的交点，点在对称轴上，四边形为梯形，求
6、点的坐标； （3）点为该抛物线的顶点，设点，且,如果和的面积相等，求的值.解析：（1），对称轴为直线 （2）由（1）知，点， 当时，直线的解析式为 直线的解析式为 当时，此时点与点重合 当时，直线的解析式为直线的解析式为 当时，此时点的坐标为 综上所述，点的坐标为 （3）点，点 若，则 易得，直线的解析式为 直线的解析式为 当时，四与圆有关的二次函数【例6】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，其中点的坐标为，点在线段上， （1）求这条抛物线的关系式，并求出抛物线的对称轴； （2）如果以为半径的圆与圆外切，求圆的半径； （3）设点在线段上，点是在线段上，如果线段被直
7、线垂直平分，求的值 解析：（1），对称轴为直线 （2）时，即 ，即 当两圆外切时， （3）， 又 模拟真题一、 三角形【练1】 如图1，已知正方形的边长为，顶点、分别在、轴的正半轴上，是的中点是线段上一动点（点除外），直线交的延长线于点 （1）求点的坐标（用含的代数式表示）； （2）当是等腰三角形时，求的值； （3）设过、三点的抛物线与轴正半轴交于点，过点作直线的垂线，垂足为（如图2）当点从向运动时，点也随之运动请直接写出点所经过的路长（不必写解答过程）图1 图2解析：（1）因为，所以因此， 所以于是得到点的坐标为 （2）在中， 当时，解得（如图3）当时，解得（如图4）或（不合题意，舍去） 当
8、时，解得（如图5）或（不合题意，舍去）综上所述，当为等腰三角形时，的值为，或图3 图4 图5（3） 点所经过的路径长为【练2】 如图，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点 （1）求点、的坐标； （2）设为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当的面积等于的面积时，求点的坐标； （3）若直线过点，为直线上的动点，当以、为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线的解析式解析：（1）由， 得抛物线与轴的交点坐标为、 对称轴是直线 （2） 与有公共的底边， 当的面积等于的面积时，点、到直线的距离相等 过点作的平行线交抛物线的对称轴于点，在的另一侧有对应的点设抛物线的对称轴与轴的交点为，与交于点
9、 由，得所以所以，点的坐标为 因为，所以而，所以所以的坐标为图2 图3 （3）过点、分别作轴的垂线，这两条垂线与直线总是有交点的，即2个点以为直径的如果与直线相交，那么就有2个点；如果圆与直线相切，就只有1个点了联结，那么在中，所以 在中，所以所以点的坐标为，过、的直线为根据对称性，直线还可以是【练3】 如图，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为 （1）直接写出、三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连结，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作交抛物线于点，设点的横坐标为 用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？设的面积为，求与的函数
10、关系解析：（1），抛物线的对称轴是 （2）直线的解析式为把代入，得所以点的坐标为（1，2）把代入，得所以点的坐标为（1，4） 因此 因为，点的横坐标为，设点的坐标为，点的坐标为，因此当四边形是平行四边形时，于是得到解得，（与点重合，舍去）因此，当时，四边形是平行四边形时设直线与轴交于点，那么因此 的变化范围是图2 图3【练4】 已知二次函数的图像经过点与. （1）求此二次函数的解析式； （2）若点是第一象限内该二次函数图像上一点，过点作轴的平行线交二次函数图像于点，分别过点、作轴的垂线，垂足分别为、，且所得四边形恰为正方形 求正方形的的面积； 联结、，交于点，求证：解析（1）由题意知 解得 所
11、以二次函数的解析式是 （2）设，则 由四边形为正方形，得 解得(舍负) 所以正方形的的面积为 设交轴于点 则 所以 所以，则 又，所以 又，所以【练5】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、点、三点，且与轴交于点.（1）求该抛物线的表达式，并写出该抛物线的对称轴；（2）分别联结、，直线与线段交于点，当此直线将四边形的面积平分时，求的值；（3）设点为该抛物线对称轴上的一点，当以点的为顶点的四边形是梯形时，请直接写出所有满足条件的点的坐标.解析（1）抛物线过点、点、三点， ，解得 所求抛物线的表达式为，其对称轴是直线 （2）由题意，得：又可得：， 直线与线段交于点，且将四边形的面积平分，
12、直线与边相交，该交点记为点 点的纵坐标是3，点的纵坐标是 可求得、 由题意，得： 可得： 解得： （3）点的坐标为或或【练6】 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，以点为圆心，5为半径作圆，交轴于两点，交轴于点两点（1）求点的坐标；（2）如果一个二次函数图像经过三点，求这个二次函数解析式；（3）为轴正半轴上的一点，过点作与圆相离并且与轴垂直的直线，交上述二次函数图像于点，当中一个内角的正切之为时，求点的坐标 解析：（1）点的坐标为，线段，点的坐标 连结，在中， 点的坐标 同理可得 点坐标为（2）设所求二次函数的解析式为， 由于该二次函数的图像经过三点，则 解得 所求的二次函数的解析式为；（3）设点坐标为，由题意得， 且点的坐标为， 当中一个内角的正切值为时，若时，即，解得 ， (舍)；当时， 解得 (舍)，(舍)， 所以所求点的坐标为易错点整理请你把自己这部分易错点进行整理，养成整理错题的好习惯！加油！第 页
