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1、3.2.2等差数列教案目的：等差数列的性质重点:等差数列的性质设数列an是等差数列,它有以下性质(1)an=am+(n-m)d (其中m、 nN*)(2)m 、n、p、qN*且 m+n=p+q,则有：am+an=ap+aq(3)a1+an=a2+an-1=ai+an-I=(4)am+l-al=am+k-ak=md （其中m、k、 lN*）（5）若bn也为等差数列，则anbn与kan+bn(k、b为非零实数)也是等差数列。 难点：等差数列性质的应用。 过程：一、复习：等差数列的定义，通项公式，等差中项，等差数列的证明 二、例1、 在等差数列中，为公差，若且求证：1 2 证明：1设首项为， 2 注
2、意：由此能够证明一个定理：设成AP，则与首末两项距离相等的两项和等于首末两项的和 ，即： 同样：若 则 例2、 在等差数列中， 1 若 求 解： 即 2 若 求 解：= 3 若 求 解： 即 从而 4 若 求 解： 6+6=11+1 7+7=12+2 +2 =2- =280-30=130例3、在等差数列an中，若a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8=( )分析：利用等差数列的性质：距首、末两项距离相等的两个项的和都相等，即若m+n=p+q,则 am+an=ap+aq比较容量解出。解：a3+a4+a5+a6+a7=450，而a3+ a7 =a4+ a6=2a55 a5=450, a
3、5=90 a2+a8=2a5=180.例4、设数列an，bn都是等差数列，且a1=25,b1=75,a2+b2=100,那么由an+bn所组成的数列的第37项为（ ） 分析：利用等差数列的性质求解十分方便。 解：由an，bn都是等差数列，可知an+bn也为等差数列。设Cn=an+bnc1=a1+b1=100,c2=a2+b2=100d=c2-c1=0 故cn=100（nN*）从而 c37=100例5、已知a、b、c的倒数成等差数列，求证：， 的倒数也成等差数列。分析：给定的是三个数的倒数成等差数列故应充分利用三个数x、y、z成等差数列的充要条件：x+y=2z。 证明：因为a、b、c的倒数成等差
4、数列 ，即2ac=b(a+c) 又+=-2=-2=-2=-2=-2=-2=所以，的倒数也成等差数列。例6、已知数列an为等差数列，公差d0,an0, （nN*）,akx2+2ak+1x+ak+2=0（kN*）(1) 求证：当k取不同的正整数时，方程有公共根；(2) 若方程不同的根依次为 x1、x2、x3、 xn，求证：、是等差数列。分析：（1）在已知一元二次方程中其系数为ak、ak+1、ak+2为等差数列的连续三项，故可考虑利用等差中项，将其中一个系数用另两个系数的关系式来表示，这样可考虑方程左端分解因式，假设方程左端有与ak、ak+1、ak+2无关的关于x的因式，则问题已解决。（2）解出xk
5、，然后计算，若为常数即证到。证明：（1）an为等差数列，d0,an0, （nN*） 2ak+1=ak+ak+2,代入已知方程：akx2+（ak+ak+2）x+ak+2=0而(akx+ak+2)(x+1)=0方程左端有因式(x+1)，故不管ak、ak+2取何值，x=-1总是方程的根，即当k取不同的正整数时，方程有公共根：x=-1（2）当k取不同的正整数时，xk=-，xk+1=-+1=故 =， 又=（-）-（）=故是公差为的等差数列。知识点 等差数列的性质例7、已知数列an为等差数列，ap=q,aq=p(pq),求ap+q分析：此题可先转化为a1和d去探索，也可利用等差数列中任2项an和am的关系
6、an=am+(n-m)d实行求解，还可利用一次函数图象解答。三、小结：等差数列性质四、作业：五、练习： 1设a,b,c,为实数，则2是a,b,c成等差数列的（ ）A. 充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2.设an为等差数列,且满足a2+a3+a10+a11=48,则a6+a7等于 3.设an为等差数列,则在以下数列中an2 pan+q pan nan(其中p,q为常数),成等差数列的个数为 4. (1)已知an为等差数列,a15=8,a60=20,则a75= (2)已知数列a,x,b,2x依次成等差数列,则b:a= 5.已知a,b,c成等差数列,求证:a2(b+c)、b2(c+a)、c2(a+b)也成等差数列。 6已知：logab、 1、 logba成等差数列，且a,b为一元二次方程x2-cx+d=0的两根，求c,d的取值范围。 7已知一元二次方程a(b-c)x2+b(c-a)x+c(a-b)=0有两个相等的实数根，求证：、成等差数列。 8已知(x-)(1) 求(2) 设a1=1, （nN*）,求an.
