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1、数学实验：打开学生数学学习的另一扇窗镇江市中山路小学 姜嵘在多数人的印象中，“实验”一般指物理实验、化学实验、生物实验等科学实验，很难想到还有“数学实验”。实际上，数学实验伴随着数学发展的整个历程，在每个严密抽象的数学结论的背后都隐藏着一段漫长的实验过程。试想一下，当我们面对一道图形复杂的题目而苦思冥想时，手总是不停地比画着，试图找到合适的辅助线，其实，这个比画的过程就是一次数学实验。“数学实验”的研究起源于大学，早在1989年美国的曼荷莲女子学院在数学系的本科教学计划中增加了一门导引性课程数学实验。1996年的第八届国际数学教育大会，提出了“实验数学”这一重要概念。在发达国家中，数学实验也逐
2、渐应用于中学数学教学，如美国的中学里设有专门的数学实验室，英国的中学数学教材中包含许多数学实验素材。现在国外小学也开设数学实验室或实验角，准备各种各样的教具、操作用具，许多用发现法教学的课就在数学实验室中进行。随着课程改革的不断深入，义务教育 数学课程标准（2011年）版的正式使用，“数学实验”也逐渐揭开其神秘的面纱，呈现在小学数学的教学研究中。数学教育家G波利亚曾指出：“数学有两个侧面，一方面它是欧几里得式的严谨的科学，从这方面看数学像是一门系统的演绎科学；但另一方面，创造过程中的数学看起来却像一门实验性的归纳科学。” 可见，数学教学既要充分体现数学的抽象化的一面，又要重视数学创造过程中的具
3、体化的一面。在实施新课程改革的今天，我们更应关注后者。一、什么是数学实验？数学实验是计算机技术和数学、软件引入教学后出现的新事物。数学实验的目的是提高学生学习数学的积极性，提高学生对数学的应用意识并培养学生用所学的数学知识和计算机技术去认识问题和解决实际问题的能力。不同于传统的数学学习方式，它强调以学生动手为主的数学学习方式。近年来，随着数学实验走进中小学，人们开始尝试结合中小学生的认知特点对数学实验进行具体化的描述。有的定义侧重于问题情境的描述，“数学实验是教师根据某一数学问题的各种元素创设的一个问题情境，在这一情境下，学生通过观察、操作、实践、试验等活动，发现问题、提出问题、验证问题，总结
4、新结论。”有的定义侧重于操作层面进行描述，“数学实验是为了探究数学知识、检验数学结论（或假设）而进行的某种操作或思维活动”。有的从数学建模的视角给出定义，“数学实验是一种新的数学教学和数学学习模式，它是实验者根据实际问题的特点和要求，经过反复思考和研究后，做出某些合理的假设，使问题在不致失真的情况下得到简化，并进行抽象和概括，建立数学模型，然后研究所建立的数学模型的方法与算法，求得结果并将结果返回到实际问题中去检验和解释。”有的定义是综合上面的多个视角进行描述，“数学实验是把表现一个数学问题的各种元素构成一个程序，即构建一个问题情境。在这个情境下，由教师或学生对各元素进行有控制的操作。通过对各
5、种情境的变换，让学生去发现问题、验证问题，总结新结论。”其实无论何种视角，数学实验的本质特征都体现在：借助一定的工具，在数学思维指导下，通过实际操作解决问题的数学实践探索活动。数学实验是数学学习的一种方式，这种学习方式是让学生从自己已有的“数学经验”出发，通过动手、动脑去获得新的数学经验，逐步构建并完善、发展自己的数学认知结构。因此，我们可以把数学实验的概念界定为：为获得某种数学理论，检验某个数学猜想，解决某类数学问题，实验者运用一定的物质手段，在数学思维活动的参与下，在典型的实验环境中或特定的实验条件下所进行的一种数学实践探索活动。二、数学实验教学的基本类型数学实验与物理、化学实验、生物实验
6、相比，不仅需要动手，更需要动脑，思维量大是数学实验的基本特征，根据数学实验教学的实践和探索，数学常见的实验教学大致可以归纳为以下三种形式：1. 操作型数学实验教学操作型数学实验教学是通过创设问题情境，对一些工具、材料的动手操作，引导学生自主探索数学知识、检验数学结论(或假设)的教学活动。这种实验教学常用于与几何图形相关知识、定理、公式的探求或验证。2. 思维型数学实验教学 思维型是按照真实实验方式展开的一种复杂的思维活动。思维型数学实验教学是指通过对数学对象的不同变化形态的展示，创设问题情境，引导学生运用思维方式探究数学知识、检验数学结论(或假设)的教学活动。3. 多媒体模拟实验教学多媒体模拟
7、实验教学指借助于计算机的快速运算功能和图处理能力，模拟再现问题情境，引导学生自主探究数学知识、检验数学结论（或假设）的教学活动。计算机多媒体技术能为教学活动提供并展示各种所需的图文资料，创设、模拟各种与教学内容相适应的情境，为抽象的数学思维提供了直观模型，为学生的学习和发展提供了丰富多彩的学习情境和有力的学习工具。三、数学实验教学的一般模式从实验前期准备工作量的大小、实验操作的复杂程度、实验时间的长短等方面来讲，数学实验教学可分为片段式和专题式两种实验教学形式。1. 片段式实验片段式实验是指穿插在数学课堂教学中的实验，如根据教学的需要，在某一数学主题内容学习前，设置引入一个与主题内容有关的实验
8、情境，在课堂上通过教师的演示或学生的操作，在较短时间内完成实验。片段式实验可以直接为随后的教学主题服务，通过观察可获得猜想，一般具有启发性、归纳性、直观性等特征，从实验规模上来讲，可以理解为“小实验”。片段式实验的基本模式是：提出实验主题教师（或学生）操作实验学生观察猜想验证归纳结论。例如在教学有余数的除法时，教学的重、难点是使学生理解余数一定要比除数小。在教学时，设计了一个用小棒搭正方形的实验，分别用4根、8根、12根、13根、14根、15根、16根可以搭成（）个正方形，还剩余（）根，怎样列式？并想一想为什么剩余的小棒不能再搭成正方形了？通过反馈形成板书，并整理成表格，再引导学生观察表格，提
9、出猜想：余数可以使1、2、3，不可能是4；余数要比除数小。而学生在之前进行搭正方形的实验时，非常容易知道剩余1、2、3根就不可能搭成一个正方形，如果剩余的根数是4根或比4根多，还可以再搭正方形，直到剩余的根数比4根少。这时再让学生观察、比较、归纳，就会较轻松地突破“余数一定要比除数小”这个重点、难点。2. 专题式实验专题式实验指的是围绕一个数学主题组织专项实验，内容比较丰富、内涵比较深刻。专题式实验需要制定实验计划，要求学生观察现象或记录数据，分组讨论实验中所出现的现象或进行数据分析处理，得出结论，给出合理的数学解释，写出完整的实验报告，并就实验中发现的问题做出严格的证明，一般具有探索性、过程
10、性等特征，从实验规模上来讲，可以理解为“大实验”。专题式实验教学通常指的是一节完整的实验课，一般来说，其操作流程主要包括实验过程和验证过程。具体来说，专题实验教学的基本模式包括六个步骤：实验主题实验实施提出猜想验证猜想（若猜想不正确即返回头从来）交流反思填写报告。例如可以给六年级的学生设计这样一个专题式实验：1. 一张纸的厚度为0.09mm，那么你的身高是纸的厚度的多少倍？2. 将这张纸连续对折6次，这时它的厚度是多少？3. 假设连续对折始终是可能的，那么对折多少次后，所得的厚度可以超过你的身高？先猜一猜，然后计算出实际答案。你的猜想符合实际问题吗？实验准备：全班每四人一组，每人准备一张A4型
11、号白纸。实验要求：让学生将手中的纸按要求对折，并记录每一次对折后纸张的层数，计算出它的高度，寻找出数据变化的规律，并解决上述问题。实验结果：问题1学生很快就能解决。解决问题2时，可以引导学生列出这样一份表格：对折次数123456纸张层数2222222222( )( )学生动手操作，找到规律，很快就解决问题2。而在解决问题3时，学生有可能产生疑问：“我第几次折就折不起来了，纸这么小，要折到人这么高，该用多大的纸来折？”学生忽视了题中的“假设”，把整个问题的焦点转化为对纸的选择上。这样一个虚拟的问题就会变成棘手的课堂突发事件。这时，我们可以再次提出实验主题：一张纸最多可以对折几次？引导学生理清实验
12、实施的准备和步骤，四人一组，分别利用学生练习本的纸做折纸实验：练习本大小的纸；练习本一半大小的纸；练习本四分之一大小的纸；两张练习本大小的纸对折。看各自最多能对折多少次？实验结果显示：按题中的方法对折，不论纸张大小，第6次对折都能完成，小的纸张第7次对折就比较勉强，第八次对折就难以完成了；大的纸可对折7次，第八次就难以完成，超过8次是不可能的。这时引导学生提出猜想：一张纸最多可以对折7次。再让学生交流反思：如果纸再大一些再薄一些，能不能再多折几次？对折7次是不是可以对折的极限了？学生充分交流时，教师可趁机提问：一张纸对折了7次后，厚度是原来的多少？而宽度又是原来的多少？找你认为很薄的纸和很大的
13、纸（可以课前准备好），再做对折实验，探究纸张对折的极限。学生再次实验后得出：一张纸对折了7次后，厚度是原来的128倍，而宽度则是原来的，这样就接近了可以对折的极限。最后，可以让学生把整个数学实验过程写成实验报告。四、有关数学实验教学的几点思考1. 明确数学实验的本质特性数学实验使教学的表现形式形象化、多样化、可视化，既有利于充分揭示数学概念和定理的形成与发展、数学思维的过程和本质，又有利于数学思想的渗透、数学方法的选择、数学新问题的形成。因此，数学实验具有以下四个基本特征：实证性。（即数学实验本质上就是把过程弄出来）数学实验追求的不仅仅是对数学命题的逻辑论证，更重要的是揭示数学问题的形成过程。
14、深刻性。（有实物、有发现才是实验）数学实验追求的不仅仅是知识的获取和解决的过程，更重要的是对知识的再发现和对问题的创造过程。探索性。（引进数学实验为过程服务）数学实验追求的不仅仅是解决问题的方法与途径的选择，更重要的是解决问题过程中的数学精神。创造性。（实验不是逻辑推理出来的）数学实验追求的不仅仅是按部就班地获得结论，更重要的是培养求异思维和创新精神。2. 数学实验研究过程中的几点困惑数学实验与数学课堂中的学生操作活动有何区别？例如一位教师在引入平角、周角等概念后，引导学生质疑：0角与周角有什么区别？有没有大于360的角？教师给学生创设情境，引导学生进行活动：让学生伸直右臂前平举不动，表示0。
15、然后身体连续两次“向后转”，即旋转360，这时手臂又回到了原来的位置。通过活动，学生自己就能感悟0与360的区别与联系。如果连续三次向后转，旋转的度数就大于360，第二个问题也就有了答案。一次简单的活动、几个简单的动作，帮助学生解惑释疑、使学生茅塞顿开，那这样的活动是否也可以看作数学小实验？现有小学数学教材中有哪些内容适合使用数学实验教学？在六年小学数学学习中，有哪些专题式数学实验是必须要做的？对于我来说，“数学实验”这一课题才刚刚起步，对它的认识也才是冰山一角。我需要不断地进行学习、研讨，让自己的教学方法和学生的学习方式更进一步走近数学实验，清晰研究的方向。畅想未来，我似乎看到了这样的画面：数学实验正以其独特的魅力创造着灵动、生动的流淌着生命关怀的课堂，构建着共生、共长富有吸引力的磁场，为学生学习数学悄然打开了另一扇窗参考文献：1. 初中数学实验教学的理论与实践，董林伟主编2. 对数学实验教学的理解，林光来，浙江教育网3. 数学新课程标准解读，北京师范大学出版社4. 初中数学教学中数学实验的探索，胡敬民、林金云
