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1、计算 n 阶行列式的若干方法举例闵兰摘 要 ：线性代数是理工科大学学生的一门必修基础数学课程。行列式的计算是线性代数中的难 点、重点，特别是n阶行列式的计算，学生在学习过程中，普遍存在很多困难，难于掌握。计算n阶行列 式的方法很多，但具体到一个题，要针对其特征，选取适当的方法求解。关键词：n阶行列式计算 方法n阶行列式的计算方法很多，除非零元素较少时可利用定义计算(按照某一列或某一行 展开完全展开式)外，更多的是利用行列式的性质计算，特别要注意观察所求题目的特点, 灵活选用方法，值得注意的是，同一个行列式，有时会有不同的求解方法。下面介绍几种常 用的方法，并举例说明。1利用行列式定义直接计算例
2、 1 计算行列式01020000000n00D =: n n -10解Dn中不为零的项用一般形式表示为f La a a a =n!.1n -1 2 n - 2n -11 nn该项列标排列的逆序数t (n-1 n2in)等于(-1)(n-2)，故2(n-1)( n-2)D = (-1)2 n!.n2利用行列式的性质计算例2 一个n阶行列式D = a |的元素满足nij 1a = -a , i, j = 1,2, , n,ij ji则称D为反对称行列式，证明：奇数阶反对称行列式为零.n证明：由a = a知a = a，即 ij ji ii iiaii= 0,i = 1,2, , n4*Zt 二 TT
3、rl八 TTf 丰.：斗故行夕列式D可表示为n 0aaa12131na0aa12232 nD二aa0an1323 3 naa a01n2 n 3n 由行列式的性质A = A 0aaa12131na0aa12232 nD =aa0an1323 3 na1na 2 na 3 n0 0aaa12131na0aa12232 n=(1)n aa0a1323 3naa a0 1n2 n 3n = ( 1)n Dn当n为奇数时，得Dn =-Dn，因而得Dn = 3化为三角形行列式若能把一个行列式经过适当变换化为三角形，其结果为行列式主对角线上元素的乘积。因此化三角形是行列式计算中的一个重要方法。例 3 计算
4、 n 阶行列式abbbbabbD =bbab.bbb .a解：这个行列式的特点是每行（列）元素的和均才相等，根据行列式的性质，把第2, 3,n 列都加到第 1 列上，行列式不变，得a + （n 一 1）bbbba + （n 一 1）bab bD = a + （n 一 1）b ba ba + （n 一 1）bb b a 1 b bb1 a bb=a + （n 一 1）b 1 b a b1 b b a 1bb.b0 a b00=a + （n 一 1）b 00a 一 b 00 0 0 a 一 b =a + （n 一 1）b（a 一 b） n-1 4降阶法 降阶法是按某一行（或一列）展开行列式，这样可
5、以降低一阶，更一般地是用拉普拉斯 定理，这样可以降低多阶，为了使运算更加简便，往往是先利用列式的性质化简，使行列式 中有较多的零出现，然后再展开。例 4 计算 n 阶行列式解将D按第1行展开na0000a000a0000a000a 0+ (-1)n+1 000 a000a1000D = a n=an + ( 1)n+1 ( 1)n an -2 =an 一 an-2 .1, D 2 之间的一种关系称5逆推公式法逆推公式法：对n阶行列式D找出D与D 1或D与Dn nnn 1n为逆推公式（其中D, D 1? D 2等结构相同），再由递推公式求出D的方法称为递推公式法。 1 2例 5 证明一10一1D
6、=n一1an-1=Xn + a Xn-1 + a Xn-2 + 12证明：将D按第1列展开得nx + a ,(n 2)+an-1nx-1000x-1 0D xn 0 0 0 x aaaan-1n-2n-3 2-100.0.x-100+(-1)n+1 a n0 0 x -1 00-1 a + xia + xD由此得递推公式： Dnnn -1 a + xD ，利用此递推公式可得 nn -1D a + xD a + x( a + xD )n nn -1 nn-1n -2 a + a x + x2 Dn n -1n - 2 a +a x+nn -1+a xn-1+xn16利用范德蒙行列式例 6 计算行
7、列式D11x + 1x +112 x2 + xx2 + x1 1 2 21x +1nX 2 + Xn nXn-1 + Xn - 21 1xn-1 + xn-222xn-1 + xn-2nn解 把第1行的一1倍加到第2行，把新的第2行的.一1倍加到第3行，以此类推直到把 新的第n一 1行的一1倍加到第n行，便得范德蒙行列式D=7加边法（升阶法）加边法（又称升阶法）例 7 计算 n 阶行列式解：8数学归纳法x1x21x2x22XnX 2n=n （ x x）i jn i j 1Xn-11xn-12Xn-1n是在原行列式中增加一行一列，且保持原行列式不变的方法。D=nD=n第i行减第i行i = 2,
8、n +1x + aaa12naX+aa12naaa12naa x + a.卜 ? dnn1-1-1-1a1x0an00箭形行列式）j=1000ajX丿j=1例8计算 n 阶行列式x-10000x-100D 二n0 0 0 x -1 aaaaa + xnn -1n221解：用数学归纳法. 当n = 2时 x-1D =x( x +a)+a2a x + a2 112=x 2 + a x + a12假设 n = k 时，有D = xk + a xk-i + a xk -2 + a x + ak12k-1k则当n = k+1时，把Dk+1按第一列展开，得D = xD + ak+1kk+1=x(xk +
9、a xk-i + a x + a ) + a1k-1kk+1=xk+i + a xk +1+ *ax 2 + a x + ak-1kk+1由此，对任意的正整数n,有D = xn + a xn-i + n1+ ax 2 + a x + an-2n-1n9拆开法把某一行（或列）的元素写成两数和的形式，再利用行列式的性质将原行列式写成两行 列式之和，使问题简化以利计算。例 9 计算行列式a2+九2anana +九nn解：D =na1aia2a +九2anana2a +九22anana +九nna +九nna2九2+九D1 n-1九n=a九 九+X D12n1n-1( 、i+ al /=1丿上面介绍了计算n阶行列式的常见方法，计算行列式时，我们应当针对具体问题，把握=九九 九1 2 n行列式的特点，灵活选用方法。学习中多练习，多总结，才能更好地掌握行列式的计算。参考文献线性代数魏贵民等主编 高等教育出版社 2004 年 8 月线性代数解题方法刘金山 吴明芬编著 华南理工大学出版社 2000 年 6 月线性代数复习指导马杰主编 机械工业出版社 2002 年 3 月作者简介：闵 兰 成都理工大学信息管理学院数学教学部 副教授
