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1、学科：数学教学内容：直线与平面综合能力训练【综合能力训练】一、选择题1.如图7-20，点P、Q、R、S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是（ ）2.如图7-21，正方体ABCDA1B1C1D1中，EF为异面直线A1D和AC的公垂线，则直线EF与BD1的关系是（ ）A.异面直线B.平行C.相交且垂直D.相交且不垂直3.有三个命题：垂直于同一个平面的两条直线平行；过平面的一条斜线l有且仅有一个平面与垂直；异面直线a、b不垂直，那么过a的任一个平面与b都不垂直。其中正确命题的个数为（ ）A.0B.1C.2D.34.a、b是异面直线，以下面四个命题，正确命题
2、的个数是（ ）过a至少有一个平面平行于b过a至少有一个平面垂直于b至多有一条直线与a、b都垂直至少有一个平面分别与a、b都平行A.0B.1C.2D.35.对于已知直线a，如果直线b同时满足下列三个条件：（1）与a是异面直线；（2）与a所成的角为定值；（3）与a的距离为定值d。那么，这样的直线b有（ ）A.1条B.2条C.3条D.无数条6.如图7-22，点P在正方形ABCD所在的平面外，PD平面ABCD，PD=AD，则PA与BD所成角的度数为（ ）A.30B.45C.60D.90 7.如图7-23，四棱锥PABCD的底面ABCD是一个正方形，PD垂直于ABCD，则这个四棱锥的五个面中，互相垂直的
3、平面共有（ ）A.3对B.4对C.5对D.6对8.设有不同的直线a、b和不同的平面、，给出下列三个命题：若a,b,则ab。若a,a，则。若，则。其中正确的个数是（ ）A.0B.1C.2D.39.若有平面与，且= l, ，P，P l，则下列命题中的假命题为（ ）A.过点P且垂直于的直线平行于B.过点P且垂直于l的平面垂直于C.过点P且垂直于的直线在内D.过点P且垂直于l的直线在内10.过正方形ABCD的顶点A作线段AA平面ABCD。若AA=AB，则平面AAB与平面ACD所成角的度数是（ ）A.30B.45C.60D.9011.已知相交直线l、m都在平面内，并且都不在平面内，若命题p：l、m中至少
4、有一条与相交；命题q: 与相交，则p是q的（ ）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.不充分也不必要条件12.如图7-24，PAO所在平面，AB为底面圆的直径，C为下底面圆周上一点，CAB=，PBA=，CPB=，则（ ）A.cossin=sinB.sinsin=sinC.coscos=cosD.cossin=cos二、填空题13.将正方形ABCD沿对角线AC折成直二面角后，异面直线AB与CD所成角的大小是。14.在平面内有一个正三角形ABC，以BC边为轴把ABC旋转角，（0，），得到ABC，当=时，ABC在平面内的射影是直角三角形。15.已知，正方体ABCDA1B1C1D
5、1，过点A作截面，使正方体的12条棱所在直线与截面所成的角皆相等，试写出满足这样条件的一个截面（注：只需任意写一个）。16.如图7-25，P是四边形ABCD所在平面外一点，O是AC与BD的交点，且PO平面ABCD。当四边形ABCD具有条件时，点P到四边形四条边的距离相等。（注：填上你认为正确的一种条件即可。不必考虑所有可能的情况。）三、解答题17.在如图7-26所示的三棱锥PABC中，PA平面ABC，PA=AC=1，PC=BC，PB和平面ABC所成的角为30。（1）求证：平面PBC平面PAC；（2）比较三个侧面的面积的算术平均数与底面积数值的大小；（3）求AB的中点M到直线PC的距离。18.如
6、图7-27，在长方体ABCDA1B1C1D1中，点E、F分别在BB1、DD1上，且AEA1B，AFA1D。（1）求证：A1C平面AEF；（2）若规定两个平面所成的角是这两个平面所组成的二面角中的锐角（或直角），则在空间中有定理：若两条直线分别垂直于两个平面，则这两条直线所成的角与两个平面所成的角相等）试根据上述定理，在AB=4，AD=3，AA1=5时，求平面AEF与平面D1B1BD所成的角的大小。（用反三角函数值表示）19.已知边长为a的正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于G（如图7-28），将此三角形沿DE折成二面角ADEB。（1）求证：平面AGF平面BCED；（2）当二面角ADEB为
7、多大时，异面直线AE与BD互相垂直？证明你的结论。20.如图7-29，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，BAD=60，AB=4，AD=2，侧棱PB=，PD=。（1）求证：BD平面PAD；（2）若PD与底面ABCD成60的角，试求二面角PBCA的大小。21.如图7-30，已知VC是ABC所在平面的一条斜线，点N是V在平面ABC上的射影，且N位于ABC的高CD上。AB=a,VC与AB之间的距离为h，MVC。（1）证明MDC是二面角MABC的平面角；（2）当MDC=CVN时，证明VC平面AMB；（3）若MDC=CVN=（00,三个侧面面积的算术平均数大于底面积的数值。（3）如图，过M作
8、MDAC，垂足为D。平面PAC平面ABC且相交于AC，MD平面PAC。过D作DEPC，垂足为E，连结ME，则DE是ME在平面PBC上的射影，DEPC，MEPC，ME的长度即是M到PC的距离。在RtABC中,MDBC，MD=BC=。在等腰RtPAC中，DE=DCsin45=，ME=，即点M到PC的距离为 。18.（1）证：因为CB平面A1B，所以A1C在平面A1B上的射影为A1B，由A1BAE，AEA1B，得A1CAE。同理可证A1CAF。因为A1CAF，A1CAE又AFAE=A，所以A1C平面AEF。（2）解 过A作BD的垂线交CD于G，因为D1DAG，所以AG平面D1B1BD。设AG与A1C
9、所成的角为，则由定理知即为平面AEF与平面D1B1BD所成的角。由已知，计算得DG=，如图建立直角坐标系，则得点及向量：A(0,0,0),G(，3，0)，A1(0,0,5),C(4,3,0),=（,3,0）, =（4,3,-5）。因为AG与A1C所成的角为，所以cos=,=arccos。即平面AEF与平面CEF所成角的大小为arccos。注：本题也可利用“平行转移法”求AG与A1C所成的角。19.解 （1）ABC是正三角形，AF是BC边的中线，AFBC。又D、E分别是AB、AC的中点，DEBC。AFDE，又AFDE=G，AGDE，GFDE，DE平面AFG，又DE平面BCED，平面AFG平面BC
10、ED。（2）AGDE，GFDE，AGF是二面角ADEB的平面角。平面AGF平面BCED=AF，作AHAG于H ，AH平面BCED。假设AEBD，连EH并延长AD于Q，则EQAD。AGDE，H是正三角形ADE的重心，也是中心。AD=DE=AE=，AG=AG=a,HG=AG=a。在RtAHG中，cosAGH=.AGF =-AGH,cosAGF= -，AGF=arcos(-)，即当AGF=arcos(-)时，AEBD。20.解 （1）由已知AB=4，AD=2，BAD=60，得BD2=AD2+AB2-2ADABcos60 =4+16-224=12。AB2=AD2+BD2，ABD是直角三角形，ADB=9
11、0，即ADBD。在PDB中，PD=，PB=，BD=，PB2=PD2+BD2，故得PDBD。又PDAD=D，BD平面PAD。（2）BD平面PAD，BD平面ABCD，平面PAD平面ABCD。作PEAD于E，又PE平面PAD，PE平面ABCD，PDE是PD与底面BCD所成的角，PDE=60，PE=PDsin60=。作EFBC于F，连PF，则PFBC，PFE是二面角PBCA的平面角。又EF=BD=，在RtPEF中，tanPFE=。故二面角PBCA的大小为arctan。21.解 （1）由已知，VN平面ABC，NCD，AB平面ABC，得VNAB。又CDAB，DCVN=NAB平面VNC。又V、M、N、D都在VNC所在平面内，所以，DM与VN必相交，且ABDM，ABCD，MDC为二面角MABC的平面角。（2）由已知，MDC=CVN，在VNC与DMC中，NCV=MCD，且VNC=90，DMC=VNC=90，故有DMVC。又ABVC，VC平面AMB。（3）由（1）、（2）得
