高山滑雪的建模问题

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1、2013年江西省研究生数学建模竞赛2012年5月26日题目 高山滑雪的建模问题摘 要：本文建模的对象是滑雪比赛中的不同因素，这些因素是如何影响滑雪比赛成 绩的进行建模，以及与这个模型有类似之处的自行车自动骑行问题建模，针对滑 雪比赛中运动员受到的各种阻力的作用，本文运用空气动力学、摩擦力学、运动 学和汽车动力学对这些问题进行了建模。解决问题一时，根据题目的假设，仅改变运动员的体重因素，在硬雪面上进 行滚落线滑行。本文利用文献搜索方法，分别对雪面的几何特征、滑雪板的几何 特征和单刚体人体模型进行了系统的描述，建立了人一风阻模型、雪面一滑雪板 摩擦阻力模型和滑雪板自身刚体模型，基于上述模型建立运动

2、学模型，利用龙格 -库塔方法求解体重与速度和时间的微分方程，可得出体重较大的人先达到终点。问题二相对于问题一有变化的量是滑雪板的长度，利用问题一中建立的滑雪 板几何模型，滑雪板长度的改变会导致摩擦力改变，针对滑雪板长度的改变进行 建模，得出接触滑雪板长度对滑雪速度有不利的影响。采用数值替代法建立初速 度对最终速度影响图。在第三问中，滑雪道换成宣雪道，宣雪道会受到浸入力的作用形成压痕，而 压痕的深度会影响滑雪板的摩擦阻力，因此有必要建立压痕弹性阻尼模型。压痕 的深度与压力大小和压力作用的时间有关，针对压痕深度建立滑雪道深度一速度 模型和宣雪道一摩擦阻力模型，利用Matlab分析出宽滑板在宣雪道上

3、速度更快。对于第四问中自行车骑行问题，类似滑雪问题，然而自行车骑行问题与滑雪 不同之处在于自行车是滚动摩擦力，因此有必要结合车辆动力学的知识，建立软 橡胶轮胎的滚动模型和针对自行车的风阻模型，利用力平衡的方法，得出自行车 重量较轻的更快。参赛队号及题号 2013061A参赛密码（由组委会填写）目录摘要31问题重述41.1问题背景41.2 题目 中的相关信息41.3需要解决的问题42问题分析52.1对问题1进行分析52.2对问题2进行分析62.3对问题3进行分析62.4对问题4进行分析63模型假设74符号说明与名词解释75.问题模型的建立与求解95.1问题1求解95.1.1雪地几何描述95.1.

4、2滑雪板的几何描述105.1.3滑雪板一硬雪道的接触模型的建立125.1.4单刚体人一风阻模型的建立145.1.5模型的求解165.2问题2求解195.2.1问题2模型的建立195.3问题3模型的建立与求解245.3.1宣雪道雪痕深度与滑板速度关系模型的建立245.3.2宣雪道摩擦阻力模型的建立255.3.3运动模型的建立265.4问题4的模型的建立与求解285.4.1骑自行车空气阻力模型的建立285.4.2自行车滚动摩擦力模型的建立285.4.2自行车运动模型的建立与求解296模型评价和推广316.1模型的优点316.2模型的不足316.3模型的推广317参考文献：318、附录32高山滑雪的

5、建模问题摘要本文建模的对象是滑雪比赛中的不同因素，这些因素是如何影响滑雪比赛成 绩的进行建模，以及与这个模型有类似之处的自行车自动骑行问题建模，针对滑 雪比赛中运动员受到的各种阻力的作用，本文运用空气动力学、摩擦力学、运动 学和汽车动力学对这些问题进行了建模。解决问题一时，根据题目的假设，仅改变运动员的体重因素，在硬雪面上进 行滚落线滑行。本文利用文献搜索方法，分别对雪面的几何特征、滑雪板的几何 特征和单刚体人体模型进行了系统的描述，建立了人一风阻模型、雪面一滑雪板 摩擦阻力模型和滑雪板自身刚体模型，基于上述模型建立运动学模型，利用龙格 -库塔方法求解体重与速度和时间的微分方程，可得出体重较大

6、的人先达到终点。问题二相对于问题一有变化的量是滑雪板的长度，利用问题一中建立的滑雪 板几何模型，滑雪板长度的改变会导致摩擦力改变，针对滑雪板长度的改变进行 建模，得出接触滑雪板长度对滑雪速度有不利的影响。采用数值替代法建立初速 度对最终速度影响图。在第三问中，滑雪道换成宣雪道，宣雪道会受到浸入力的作用形成压痕，而 压痕的深度会影响滑雪板的摩擦阻力，因此有必要建立压痕弹性阻尼模型。压痕 的深度与压力大小和压力作用的时间有关，针对压痕深度建立滑雪道深度一速度 模型和宣雪道一摩擦阻力模型，利用Matlab分析出宽滑板在宣雪道上速度更快。对于第四问中自行车骑行问题，类似滑雪问题，然而自行车骑行问题与滑

7、雪 不同之处在于自行车是滚动摩擦力，因此有必要结合车辆动力学的知识，建立软 橡胶轮胎的滚动模型和针对自行车的风阻模型，利用力平衡的方法，得出自行车 重量较轻的更快。关键词：高山滑雪雪面一滑雪板模型龙格-库塔法压痕弹性阻尼模型1问题重述11问题背景数学作为一门基础学科，其应用存在于我们生活中方方面面，因此将数学建 模合理的利用，能够解决我们身边的各种问题。高山滑雪是冬季奥运会比赛中的 一类双板滑雪运动项目，是在大自然中的山坡上进行的雪上运动，具有鲜明的自 然属性，包括回转、大回转、超大回转和速降四种比赛。几种比赛的共同点是比 赛时运动员穿着两只专用滑雪鞋并各自独立固定一个滑雪板在山顶的起点处听

8、到号令出发，利用势能沿着赛会确定的S形路线滑行到山下的终点，用时最少的 为优胜者。为了能够达到取得好的比赛成绩的目的，需要对影响运动员完成比赛 时间的各个因素都要加以考虑，本文建模正是在对这些因素进行分析，以确定哪 些因素是影响运动员比赛成绩的关键。1.2题目中的相关信息题目中给出了雪道的分类及其特点以及滑雪板的结构和类别。比赛路线称为 机压雪道或者硬雪道，是用专业的压雪机反复碾压人工造雪或者天然雪雪面形成 的，压好后雪厚度可达半米以上。可以认为在运动员滑行时雪道没有明显的变形。 宣雪道是自然降雪造成且没有人踩踏过的有一定厚度（比如30厘米）的松软雪 的滑雪道，运动员在上面滑行一次后，会压出两

9、条较深的痕迹，深度和速度有很 大关系，越快的时候越浅。滑雪板信息（几何形状）通过网络简单查询，得知滑雪板的种类繁多，其中 划分的一个重要标准就是其腰宽尺寸。腰宽就是滑雪板中部的宽度（是头、腰、 尾三个宽度中最窄的）。比赛用竞技板腰宽在65到70毫米，长度视比赛类型而 定，回转一般用1650毫米左右，大回转用1850到1910毫米左右。近几年大众 滑雪中又流行一种全地域板，腰宽在70到100毫米，比较常见的是85毫米左右 的，它的出现就是为了同时适应各种雪况：硬雪道、软雪、宣雪，一般全地域板 比竞技板也稍长一些。1.3需要解决的问题滑雪界有个说法：“体重大的人比赛有优势”滑雪板的腰宽和长短也对比

10、赛 的结果产生比较大的影响，滑板的类型对于比赛场地的影响。上述问题都需要通 过科学地建模判断这个说法到底对不对，对推测的依据作出合理的解释。针对以 上的分析，我们需要解决下面四个问题：（1）运动员体重对比赛的影响针对不同体重的运动员，例如60公斤和80公斤，使用相同的滑雪板，在硬 雪道上滑行，滑行的地形和状况保持一致性，其他条件相同，对此进行建模分析， 对比分析结果，看体重是都会影响比赛成绩。（2）滑雪板的长度对比赛的影响在体重相同的情况下，腰宽一样但长度不同的滑雪板，例如长度一个是165 厘米，另一个是185厘米，在硬雪道上滑行，滑行的地形和状况保持一致性，其 他条件相同，对此进行建模分析；

11、（3）滑雪板的宽度对比赛的影响在体重相同的情况下，一个运动员使用竞技滑雪板、另一个使用全地域滑雪 板，两个滑雪板的长度都是180厘米，在宣雪道上滑行，滑行的地形和状况保持 一致性，其他条件相同，对此进行建模分析；（4）将所建立的模型对比于生活中其他同类问题针对生活中一种很相似的情况，进行建模分析计算。不同体重的两名运动员 各骑一辆没有链条的自行车，初速度同为1米/秒的条件下从柏油路面大约5度 的坡上骑下，分析谁先到达坡底终点。2问题分析本文主要涉及数学模型及实际问题的分析，要求参赛者具有一定的数学素 养，同时也要具备基本空气动力学、摩擦力学、运动学Matlab编程以及相关的 汽车理论的知识。该

12、题首先要求参赛者找出体型对空气动力学的影响；然后建立 板和雪地摩擦学的数学模型；最后要求分析同类问题即：自行车的行驶问题，需 要汽车理论来建模滚动摩擦数学模型。由此可见，建模过程中存在的主要问题有: 1、如何找出体重对于空气动力学的影响？ 2、如何基于滑雪板和场地建立摩擦力 学数学模型？ 3、如何分析不同重力对于滚动摩擦力的影响？对此，笔者基于标 准体重、身高建立空气动力学模型；其次利用雪地摩擦力的分类对不同的摩擦力 分析；最后用迟滞阻力模型对滚动进行分析。2.1对问题1进行分析问题中要求我们建模分析两名体重不同，其余所有条件相同的运动员在硬雪 道上滑行的先后问题。首先我们根据题目中所给出的信

13、息（建立出模型）查出不 同情况下雪道的几何描述、滑雪板的几何描述、人体的几何描述。根据数据建立 出滑雪板一雪道的接触模型、人体单刚体风阻模型。对于压实雪地而言，可以忽略压缩阻力和冲击阻力（很小），滑雪板在其表面 滑行时，雪道的变形很小，可以将其看成是冰面上滑行，但应考虑其表面粗糙度, 则滑雪板和雪道的总滑动阻力为干摩擦阻力，流体剪切阻力，接触动摩擦阻力之 和。由于我们可以忽略滑雪的技术动作，所以我们可以不用考虑滑行过程中运动 员的支雪力作用，同时人体可以看成是一个刚体模型，固定在滑雪板上。质心位 置在人体的0.6h出。当速度达到一定程度时，风阻变成了一个不可忽视的问题, 假设两名运动员的身体条

14、件相同，利用经验公式得出的人体截面积与体重的公 式，建立出人体一空气动力学方程。2.2对问题2进行分析问题2中要求我们建模分析除长度不同外，所有条件一致的滑雪板运动员， 在硬雪道上谁会最先到达终点。首先我们利用问题一所建立的单刚体人一风阻模 型、滑雪板一硬雪道模型，计算出在相同体重作用下，滑雪板长度变化对滑动的 影响效果图。利用matlab自带的龙格-库塔方法求解高维常微分方程组，得到在 相同的初始速度1 ms下，两种滑雪板在不同长度下到达终点所需的时间，并作 图直观视之。由于，初始速度对滑行到达终点的时间有这一定的影响，我们应对初始速度 进行研究，假定其余条件皆相同，初始速度从0.1到7ms

15、 （因为人体所能达到的最大初始速度小于等于7ms）。求出不同初始速度下，到达终点所用时间， 并用matlab作图表示，分析初始速度对滑行的影响。2.3对问题3进行分析问题3中要求我们对不同种类的滑雪板在宜雪道上滑行到达终点的时间问 题进行研究。首先，我们已知宜雪道是不同于硬雪道的赛道，它是自然下雪形成 的，之前并未承受过力，所以当滑雪板作用在上面的时候，积雪会因为受到力的 作用而向下凹陷进去形成压痕，而凹陷下去的压痕随着浸入力的大小和浸入力作 用的时间的变化而改变的，浸入力越小，压痕越浅；作用时间越短，压痕也越浅, 作用时间与速度成反比。同时，由于压痕的深度会影响滑雪板的摩擦阻力，因此 有必要建立浸入力一压痕的模型，分析压痕与那些因素有关，然后建立与之有关 的滑雪板一滑道摩擦阻力的模型，对此模型进行系统的受力分析，最后建立滑雪 的运动模型。在初始速度为1 ms的条件下，利用matlab求解其运动微分方程组，求出不 同滑雪板到达终点所需的时间以及达到终点时的速度，并作图视之。2.4对问题4进行分析针对问题4中，要求运动员以一定的初速度，骑着没有没有链条的自行车在 有一定坡度的柏油马路上骑下来，对自行车进行分析，自行车在下来的过程中， 同样也会受到空气阻力的作用，对于体重不同的运动员来说，由于骑车的姿势与 滑雪的姿势是不同的，而且自行车本身也具有