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1、(完整word版)数学归纳法教学设计2.3数学归纳法教学设计 湖北省通城县第一中学 魏 刚一、【教材分析】本节课选自普通高中课程标准实验教科书数学选修2-2（人教A版）第二章第三节2.3数学归纳法。在之前的学习中，我们已经用不完全归纳法得出了许多结论，例如某些数列的通项公式，但它们的正确性还有待证明。因此，数学归纳法的学习是在合情推理的基础上，对归纳出来的与正整数有关的命题进行科学的证明，它将一个无穷的归纳过程转化为有限步骤的演绎过程。通过把猜想和证明结合起来，让学生认识数学的本质，把握数学的思维。本节课是数学归纳法的第一课时，主要让学生了解数学归纳法的原理，并能够用数学归纳法解决一些简单的与
2、正整数有关的问题。二、【学情分析】学生在学习本节课新知的过程中可能存在两方面的困难：一是从“骨牌游戏原理”启发得到“数学方法”的过程有困难；二是解题中如何正确使用数学归纳法，尤其是第二步中如何使用递推关系，可能出现问题。三、【策略分析】本节课中教师引导学生形成积极主动，勇于探究的学习精神，以及合作探究的学习方式；注重提高学生的数学思维能力；体验从“实际生活理论实际应用”的过程；采用“教师引导学生探索”相结合的教学方法，在教与学的和谐统一中，体现数学的价值，注重信息技术与数学课程的合理整合。四、【教学目标】（1）知识与技能目标： 理解数学归纳法的原理与实质，掌握数学归纳法证题的两个步骤；会用数学
3、归纳法证明某些简单的与正整数有关的命题。（2）过程与方法目标：努力创设愉悦的课堂气氛，使学生处于积极思考，大胆质疑的氛围中，提高学生学习兴趣和课堂效率，让学生经历知识的构建过程，体会归纳递推的数学思想。（3）情感态度与价值观目标： 通过本节课的教学，使学生领悟数学归纳法的思想，由生活实例，激发学生学习的热情，提高学生学习的兴趣，培养学生大胆猜想，小心求证，以及发现问题、提出问题，解决问题的数学能力。五、【教学重难点】教学重点：借助具体实例了解数学归纳法的基本思想，掌握它的基本步骤，能熟练运用它证明一些简单的与正整数n有关的数学命题；教学难点：数学归纳法中递推关系的应用。六、【教学方法与工具】
4、教法指导：本节课采用的教学方法是“启、思、演、练、结”五字教学法，即：以具体的例子引入课题，启发学生想去了解归纳法；通过提出问题、创设情景，引导学生积极思考；借助电脑的动画演示，提高直观性与趣味性，延长学生有意注意的时间；教学中，及时精选一些练习帮助学生巩固与强化知识，而“结”则包含两方面的内容（1）授课中教师的及时小结与点拨（2）听课时学生的自我小结与巩固。 学法指导：（1）学习要求：课前预习教材中有关内容；听课时积极思考大胆质疑；课后及时完成课外作业。（2）指导措施：通过设置问题情景，激发学生大胆思考；由具体的事例吸引学生注意，通过直观模型演示，化抽象为具体，突破教学难点；借助电脑声像效果
5、，营造愉悦课堂氛围，提高学习兴趣。 教学手段：多媒体辅助课堂教学。七、【教学过程】一、创设问题情境，启动学生思维（说明引入数学归纳法的必要性）（情境一）某人看到树上有一只乌鸦，深有感触“天下乌鸦一般黑。”这个结论是否正确呢？（情境二）在数列中，已知,发现， ，由此猜想数列的通项公式为.这个结论可靠吗？怎样才能说明其正确性？【设计意图：】为了引入本节课的问题，首先复习之前学过的知识，承上启下。以上两个情境都是不完全归纳法的体现，发现其结果不一定正确，而这里实际上体现了数学中的归纳思想。归纳法分为“不完全归纳法（只验证几个个体成立，得到一般性结论，但结论不一定正确）”和“完全归纳法（验证每个个体都
6、成立，得到一般性结论，其结论一定正确）”。二、搜索生活实例，激发学生兴趣【实例：】播放多米诺骨牌的游戏视频【探究：】多米诺骨牌全部倒下的条件【分析：】（实验一：）在该实验中，骨牌的间距合适。用手推第一块骨牌，但没有推倒，第二块骨牌，第三块骨牌自然也没有倒下，游戏失败； （实验二：）在该实验中，骨牌间距出现分化，使第一块骨牌和第二块骨牌间距足够大，其他间距不变。这时用手推倒第一块骨牌，但第二块没倒下，第三块、第四块也没有倒下，游戏失败。此时让学生对比实验一实验，分析原因；（实验三：）在该实验中用手推倒第一块骨牌，然后第二块骨牌全部骨牌依次倒下；【设计意图：】通过三个不尽相同而又密切相关的实验，旨
7、在引导学生从不同角度，对比感悟数学原理，实现学生思维由隐形到显性，由模糊到清晰，由片面到完整的过渡。 三、立足生活，点燃思维的火花（由多米诺骨牌游戏的原理启发学生探索数学方法，解决情境二的问题。）第一块骨牌必须要倒下 任意相邻的两块骨牌，若前一块 倒下，则后一块也倒下 当时，猜想成立 任意相邻的两项，假设时，猜想成立，即则当时 即当时猜想成立发现，对任意的正整数n猜想都成立，即该数列的通项公式是.四、师生合作，形成概念。 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可以按照以下步骤进行：（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值（）时命题成立； （2）（归纳递推）假设时命题成立，证明当 时 命题也成立。完
8、成这两个步骤后, 就可以断定命题对从开始的所有正整数都成立。上述这种证明方法叫做数学归纳法。【问题一：】在上面第一步中，n是否必须从1开始取值？若不是，用反例说明。五、讲练结合，巩固概念【例：】用数学归纳法证明 【问题二：】在证明过程中，发现有的同学是如下这样证明的：他的做法对吗？证明: (1)当时，左边=1，右边=1，则等式成立； (2)假设时，等式成立，即， 则当时，有即当时，等式也成立， ,等式成立。 错因：第k+1步的结论不是以第k步为条件得出的，证明过程中没有用到第二步的归纳递推，因此得到的结果未必正确。 改正： 时，有 即当时，等式也成立。【设计意图：】本题考查数学归纳法的证明过程
9、。首先，教师将一道题目用数学归纳法完整的证明出来；然后再让学生当“小老师”，寻找另外一种证明过程中的错误，通过纠错这一思维过程，澄清了学生对知识点的模糊认识，“先正后反”有助于学生全面认识数学归纳法。【练习】用数学归纳法证明： 证明：(1)当时，左边：，右边： 左边=右边，等式成立。 (2)假设当时等式成立，即 则当时， =右边即当时，等式也成立 等式成立。【设计意图：】让学生自己尝试用数学归纳法证明之前学习中给出的公式正整数的平方和公式，加深了学生对已学知识的认识。当堂检测：1.观察式子：，则可归纳出式子为（） 2.用数学归纳法证明：首项是，公比是的等比数列的通项公式是，前n项和公式是六、回
10、顾总结，反思提高(1) 数学知识：数学归纳法两个步骤一个结论；(2) 数学方法：数学归纳法（证明某些与正整数有关的命题）；(3) 数学思想：归纳思想、递推思想。七、分层作业一、选择题1用数学归纳法证明过程中，由递推到时，不等式左边增加的项为 （ ） A. B. C. D.2凸n边形有f(n)条对角线，凸n+1边形对角线的条数f(n+1)为 （ ）A.f(n)+n+1 B.f(n)+n C.f(n)+n-1 D.f(n)+n-23用数学归纳法证明不等式 的过程中，由n=k递推到n=k+1时，不等式左边 （ ） A.增加了一项 B.增加了一项C.增加了“”，又减少了“” D.增加了“ ”，又减少了“”二、填空题4已知数列，计算得，由此可猜测_5若f(k)=则= + _三、解答题6由下列不等式：，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明八、板书设计2、3数学归纳法数学归纳法：【例】证明：【练】证明：（学生板演）课堂小结：（1）、 （2）、 （3）、
