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1、苏教版数学精品资料学业分层测评(十七)(建议用时：45分钟)学业达标一、填空题1.设f(n)1(nN*)，那么f(n1)f(n)等于_.【解析】f(n1)f(n)1f(n).【答案】2.(2016无锡高二期末)用数学归纳法证明不等式“”，当n1时，不等式左边的项为：_.【解析】不等式左边分子是1，分母是从n1一直到3n1的分数之和，当n1时，n12,3n14，左边项为.【答案】3.用数学归纳法证明：“2nn21对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取值_. 【导学号：01580053】【解析】当n1时，21121；当n2时，22221，当n3时，23321；当n4时，244
2、21；当n5时，2nn21恒成立.n05.【答案】54.若f(n)122232(2n)2，nN*，则f(k1)f(k)_.【解析】f(k)122232(2k)2，f(k1)122232(2k)2(2k1)2(2k2)2，则f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2.【答案】(2k1)2(2k2)25.已知数列an的前n项和Snn2an(n2)，而a11，通过计算a2，a3，a4，猜想an_.【解析】a11，a2，a3，a4，猜想an.【答案】6.用数学归纳法证明n(a，b是非负实数，nN*)时，假设nk命题成立之后，证明nk1时命题也成立的关键是两边同乘以_.【解析】要想办法出现ak1bk1，
3、两边同乘以，右边也出现了要证的k1.【答案】7.以下是用数学归纳法证明“nN*时，2nn2”的过程，证明：(1)当n1时，2112，不等式显然成立.(2)假设当nk(kN*)时不等式成立，即2kk2.那么，当nk1时，2k122k2k2kk2k2k22k1(k1)2.即当nk1时不等式也成立.根据(1)和(2)，可知对任何nN*不等式都成立.其中错误的步骤为_(填序号).【解析】在2k122k2k2kk2k2k22k1中用了k22k1，这是一个不确定的结论.如k2时，k22k1.【答案】(2)8.用数学归纳法证明1222(n1)2n2(n1)22212时，由nk的假设到证明nk1时，等式左边应
4、添加的式子是_.【解析】当nk时，左边1222(k1)2k2(k1)22212.当nk1时，左边1222k2(k1)2k2(k1)22212，所以左边添加的式子为(k1)2k2.【答案】(k1)2k2二、解答题9.用数学归纳法证明：当nN*时，12233nn(n1)n.【证明】(1)当n1时，左边1，右边2,12，不等式成立.(2)假设当nk(kN*)时不等式成立，即12233kk(k1)k，那么，当nk1时，左边12233kk(k1)k1(k1)k(k1)k1(k1)k(k2)(k2)k1(k1)1k1右边，即左边右边，即当nk1时不等式也成立.根据(1)和(2)，可知不等式对任意nN*都成
5、立.10.已知数列an满足an1，a10.试猜想an的通项公式，并用数学归纳法证明.【解】由an1，a10，得a2，a3，a4，a5，.归纳上述结果，可得猜想an(n1,2,3，).下面用数学归纳法证明这个猜想：(1)当n1时，猜想显然成立.(2)假设当nk时猜想成立，即ak，那么，当nk1时，ak1，即当nk1时，猜想也成立.根据(1)和(2)，可知猜想an对所有正整数都成立，即为数列an的通项公式.能力提升1.用数学归纳法证明“当n为正偶数时xnyn能被xy整除”第一步应验证n_时，命题成立；第二步归纳假设应写成_.【解析】由于n为正偶数，第一步应检验n2时，命题成立.第二步，应假设n2k
6、(kN*)时命题成立，即n2k(kN*)时x2ky2k能被xy整除.【答案】2假设n2k(kN*)时x2ky2k能被xy整除2.用数学归纳法证明：凸n边形对角线的条数f(n)n(n3)(n4)时，f(k1)与f(k)的关系是_.【解析】假设nk(k4，kN*)时成立，则f(k)k(k3)，当nk1时，多出一条边，实际上增加的对角线条数为k12k1条，所以f(k1)f(k)k1.【答案】f(k1)f(k)k13.用数学归纳法证明：“1n(n1)”，由nk(k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项的项数是_.【解析】当nk1时，左边是1增加的是，共有2k112k12k项，故左边应增加的项的项
7、数是2k.【答案】2k4.用数学归纳法证明34n252n1能被14整除的过程中，当nk1时，34(k1)252(k1)1应变形为_. 【导学号：01580054】【解析】当nk1时，34(k1)252(k1)18134k22552k125(34k252k1)5634k2.【答案】25(34k252k1)5634k25.设函数yf(x)对任意实数x，y都有f(xy)f(x)f(y)2xy.(1)求f(0)的值；(2)若f(1)1，求f(2)，f(3)，f(4)的值；(3)在(2)的条件下，猜想f(n)(nN*)的表达式，并用数学归纳法加以证明.【解】(1)令xy0，得f(00)f(0)f(0)200f(0)0.(2)f(1)1，f(2)f(11)1124，f(3)f(21)412219，f(4)f(31)9123116.(3)猜想f(n)n2，下面用数学归纳法证明.当n1时，f(1)1满足条件.假设当nk(kN*)时成立，即f(k)k2，则当nk1时，f(k1)f(k)f(1)2kk212k(k1)2，从而可得当nk1时满足条件，所以对任意的正整数n，都有f(n)n2.
