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1、有限群论是群论的基础部分，也是群论中应用最为广泛的一个分支。历史上，抽象群论的许多概念起源于有限群论。近年来，随着有限群理论的迅速发展，其应用的日益增多，有限群论已经成为现代科技的数学基础之一，是一般科技工作者乐于掌握的一个数学工具。 有限群论无论是从理论本身还是从实际应用来说,都占有突出地位,它中的置换群、可解和非可解群、幂零群、以及群表示论等等,都是重要的研究对象,总之,其内容十分丰富而且庞大。有限群的研究起源很早，其形成时期是与柯西、拉格朗日、高斯、阿贝尔以及后来的伽罗瓦、若尔当等人的名字相联系的。1829年伽罗瓦(Galois)引入了置换群的概念,并成功地解决了一个方程可用根式求解的充
2、要条件。置换群是群论历史上最先知道的一种具体的群。拉格朗日和高斯在研究数论中的二次型类是出现过交换群的概念;Cayley(凯莱)曾经在1849年提出过抽象群, 但这个概念的价值当时没有被认识到, 远远超越时代的Dedekind(戴德金)在1858年给有限群下了一个抽象的定义,这个群是从置换群中引导出来的,他又在1877年提出了一个抽象的有限交换群。 Kronecker(克罗内克)也给出了一个相当于Abel 群的定义,他规定了抽象的元素,运算,封闭性,结合性,交换性。 以每个元素的逆运算的存在和唯一。他还证明了一些有关群的定理。 1878年又是凯莱提出了一个群可以看作一个普遍的概念。毋需只限于置
3、换群,这样认识到抽象群比置换群包含更多的东西。德国数学家赫尔德在l889年以后的若干年内，详细地研究了单群和可解群，证明：一个素数阶循环群是单群，n个(n=5)文字的全部偶置换组成的交换群是单群。他还发现了许多其他有艰的单群。赫尔德和若尔当还建立了在有限群中的若尔当一赫尔德合成群列和若尔当一赫尔德定理。在19世纪末，德国数学家弗罗贝尼乌斯、迪克和英国数学家伯恩塞德等都致力于可解群的研究。20世纪初伯恩塞德证明的关于(p,q是素数)必是可解群的定理，导致了对有限单群进行分类的重要研究。美国数学家汤普森和菲特在20世纪60年代初证明了有限群中长期悬而未决的一个猜想(伯恩塞德猜想)；奇数阶群一定是可
4、解群。它推动了有限群理论的发展。有限单群的完全分类，即找出有限单群所有的同构类，经过上百名数学家约百年的共同努马中骐群论习题精解1981年得到解决，这是数学史上的一个非凡成就。近世代数基础(修订本)是张禾瑞同志1952年著近世代数基础的修订本，内容除第一版中的基本概念、群论、环与域、整环里的因子分解等四章外，还增加了关于“护域”的内容。这本书可作为综合大学数学系和高等师范院校有关专业的教学参考书。齐晓梅，乔凤珠的近世代数基础问题探析包含了许多与有限群相关的知识，并且介绍了不同阶数的同构群。马中骐的群论习题精解是物理学中的群论配套的习题集，主要包括群的基本概念、群的线性表示理论、三组转动群、晶体
5、的对称性、置换群、SU(N)群、SO(N)群和洛伦兹群、李群和李代数。习题的亲手演算对于掌握群论的理论内容和计算方法都是必不可少的。河北师范大学本科生毕业论文（设计）文献综述有限群Sylow-定理拉格朗日定理指出，如果G是一个n阶有限群，M是G的m阶子群，那么m整除n.这个定理的逆定理是假命题.但是，Sylow-定理表明，事实上如果除了假设m是一个素数p的方幂，则G有m阶子群.并且如果m是能整除n的p的最大方幂，则G的所有m阶子群在G中共轭.一个非空群G被称为p-群，如果其中每个元素的阶都是p（即|g| =，r是正整数，g是G中任意元）.一个群的任何一个子群本身就是一个群G的p 子群.一个p-
6、子群被称为一个Sylow p -子群，如果它不完全包含在任何其他的p -子群中，即它是最大的p -子群.给出以下的Sylow-定理定理（1） 设G是一个有限群，且，其中p为素数，k为非负整数，m是正整数.证明：G有阶子群；（2） 任何阶为的p -子群都存在阶为的p -子群，对于所有的k，只要整除G的阶.证明：（1）设，对n进行归纳.当n=1时 |G|=，此时G有1阶子群e，结论成立.假设对阶小于n的群结论成立，下证对n阶群G成立，其中.令C为群G的中心，且假设，下面分两种情况讨论.1) p| |C|，此时C有p阶元，从而(a)是的正规子群，且.于是，由归纳假设，群有阶子群，即，其中H为G的子群
7、，且由上式知|H|=.2) p不整除|C|，此时CG，故由群G的类等式，及p| |G|，p不整除|C|知，至少有一个G:N()不能被p整除，不妨设为G:N()，则由于|G|=G:N()|N()，而G:N()大于1且整 除m，故 |N()|=n.从而由归纳假设，G的子群N()有阶子群，这个子群也是G的阶子群.综上所述，结论成立.(2)设H为G的子群，且|H|=(0t1时，(n)表示和n互质的并且比n小的正整数的个数.证明 (1) 如果是G 的生成元，则a().因此存在整数t使得a= ，这样得到=e，故n | (kt-1).因此存在整数v，使得nv=kt-1.即tk+(-v)n=1，这样（k，n）
8、=1.反过来，如果（k，n）=1,那么nt+ks=1(t,s为整数). 有a=.因此a的任意方幂都属于.从而G=.(2) 由(1)的证明过程可知，此结论成立.3、 设G 为群，H是G 的子群且H在G 中的指数为2，证明：对每一个gG.都有H.证明 因为H是群G 的指数为2的子群，则H 有且只有两个陪集H，aH，这里aH，因此G为这两个集合的并集，即G=HaH. 任取gG 但是gH. 则存在H 中元h 使得g=ah. 如果H, 则存在H，使得=a.因此得到g=H,这与gH矛盾.因此H.命题得证.4、 设G 是群，任取G 的一个非空子集X，证明：(X)=x|x=,X, 1, n=1,2,.证明 令
9、T=x|x=,X, 1, n=1,2,.由于X，故T. 对任意的x，yT，容易验证T,因此T是G的子群，且TX.因此，得到(X)T.另一方面，对每一个X，有x= (X)，因此T(X).综上，T=（X），命题得证.5、 证明：循环群的每一个子群是循环群.证明 假定G=(a)为循环群,H是G 的一个子群. 对任意的xHG，存在整数k，使得x=，同时存在最小正整数n，使得H. 由带余除法定理，得到k=nq+r，这里0 rn.因此，故.但是，从而有.又由于rn，故r=0.因此k=qn.如果xH，则存在正整数q，使得x =.因此H是一个由生成的循环子群.注：本文源自于抽象代数（祝家贵著），本书是以Sch
10、aum的题解精萃AbstractAlgebra为蓝本的同名英文教材.Finite groupThe Sylow Theorem Lagranges Theorem states that if G is a finite group of order n and m is the order of some subgroup of G, then m divides n. The converse of this result is false. However, the Sylow Theorem show that if we assume in addition that m is a
11、power of a prime p, then G does, in fact, have a subgroup of order m. Moverover, if m is the largest power of p dividing n, then all subgroups of G of order m are conjugate in G.A nonempty group G in which every element has order power of p( that is, |g|=, for some positive integer r, for all gG), i
12、s called a p-group. Any subgroup of a group which is itself a p-group is called a p-subgroup of G. A p-subgroup which is not properly contained in any other p-subgroup, that is maximal p-subgroup, is referred to as a Sylow p-subgroup.We give the Sylow Theorem in the following.Sylow(1) Let p is a prime number, | |G|,(|G|), then there is HG such that |H|=;(2) Any p-subgroup of order is normal in some p-subgroup of order, for all k where | |G|.Proof (i) We use induction on |G|. If |G|=2, the result is trivial. Now assume the statement is t
