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1、如何学习高中数学（1）各位老师，大家好！江苏省高中数学网络培训课程模块2-6学法指导将邀请樊亚东老师主讲。樊老师是江苏省首批教授级中学高级教师，江苏省中学数学特级教师，教育部国家课程标准高中实验教材（苏教版）编写组成员，教育部国家课程标准初中实验教材（华东师范大学出版社）编写组成员，苏州大学教育硕士研究生导师，现任教于江苏省苏州中学。高中数学课程改革已经进行了8年，广大一线数学教师对于如何对学生进行“学法指导”存在一些困惑。樊老师，能否就此问题，请您对我们作一些讲解。教师对学生进行“学法指导”我觉得关键在于教师心中有无“科学的学法”。这大致有三个层面的问题：也就是说“课前”、“课堂”与“课后”
2、。下面我就分别这三个问题，给老师们来说一下。第一个是关于“课前”的问题，课前主要要老师去关注教材，课堂主要是要关注学生，课后主要是关注学生的作业。第一个话题：课前关注教材，教材有一个基石，那么我们老师应该去好好地学习国家课程标准，这样子才能够帮助老师去理解教材编写的体系。还有整个教材的结构，特别是新的教材与我们过去的教材的一些变化。第二个就是教材的体系。我们主要从整体结构与教材的核心概念这两个主要方面去关心我们现在的新教材的体系，它的一个主要特点是采取的分层递进与螺旋式地上升。第三个是我们关注教材也要现实地关注我们最后现实要参加的高考，所以还要求老师关注教材与高考的关系。我就说几个案例，原来呢
3、，我准备3个，现在我把它算成两个，本来想说一个函数，一个几何，一个向量，现在可能因为时间关系，我就是说其中两个，因为这两个也是我们教材的主线吧。先说第一个案例：函数。函数这个主线是贯穿我们整个教材前后的，那么老师们去关注教材就要整体来关注函数这条线，从前到后，从左往右，就横向和纵向两个方面在教材里的体现，那么我的理解就是大概有两个维度，一个就是可视的文本形式，我把它称为知识的体系，像有一条抽象的线讨论的对象是 y=f(x)这个对象，它的生成、它的定义域、值域，它的图象，它的单调性、奇偶性、周期性，它的最大值、最小值等等。这些个内容，它针对的对象就是一个抽象的符号y=f(x)，那么与此同时，有一
4、条辅助的线，伴随着这条抽象的线就是我们有一个具体的实例辅助着，从我们初中学的正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，直到高中我们学的幂函数、指数函数、对数函数、三角函数，还有很多我们一线老师补充的这个正比例函数与反比例函数的和的这些运算形成的一些函数，它们都是一些具体的，那么这两条线呢一比就像二声部合唱，横过来它们自成体系，但是纵过来它们有对位的关系，互相交织在一起，有时我们要侧重一个实例，有时我们要侧重一个抽象，它们形成一个知体，这个体系应该说还是比较容易掌握的，因为它们属于文本性的，课本上都有的，老师们也容易注意到。那么函数主线的另外一个维度就是思想方法，这个要求就相对高一些。为什么呢
5、？一般说来，它是隐藏在文本体系当中，不像文本体系那样的线性化、体系化的。比如说，关于函数的观念、原理，我们有没有输入和输出的观念，有没有形成运动观、对应的原理，有没有坐标法的意识，有没有数形结合的思想，以及函数的运算，复合函数，还有函数的变换这些我就把它归结在函数的观念和原理里面，它是零星地穿插在我们讲前面知识体系当中的；第二个思想方法里面就是链接与综合，那么函数它与方程的关系，函数它与不等式的综合，函数与解析几何的连因，函数与数列的关系，以及函数与导数层次上的、逻辑上的关系，这些就属于链接与综合这个层次。这两条比起前面要求就更高些，难度也就大一些，需要老师们特别要注意的。下面我们就分别说一下
6、函数内容的知识链在现在教材里面有这样几次出现，一个是必修1：整个书基本都是讲基本初等函数I，然后必修2，与函数有关的是平面解析几何初步，像直线方程几乎一次函数另外的一个版本，在圆里面，课本上也有用函数的观点来解题的，我记得有一个例题就是把半圆看成一个函数，大概是个应用题，去求桩的长度，造一个半圆的桥要竖个半圆的桩，它实际上也是用半圆的观点，然后必修4整个一本书核心都是函数，它是基本初等函数II，中间有一块是平面向量，它像一座桥梁跨在代数与几何之上，它为我们第三章进一步研究三角函数提供非常有利的工具，也为我们后面空间向量引入和立体几何的进一步研究提供了工具。所以向量既可以说是代数的一个对象，可以
7、研究向量代数，又可以看成是个几何的对象，它的几种语系都是比较丰富的。然后在必修5里面，我们谈到了数列问题，实际上数列是研究离散函数的一个重要的例子里面也有很多的与一次函数、指数函数这些有密切联系的内容，当然数列有它的一些比较特殊的处理方法；然后我们在选修1-1、2-2 里面都专门讲了导数以及导数的一些应用。而导数是我们研究函数更科学化、更难度化、更尖端化的一种工具，它是为了更深入地研究函数的，所以整个导数内容跟函数更加密不可分。第二个就是对函数内容的定位和基本要求。我们把它把函数作为刻画现实世界中一类重要变化规律的模型来学习，因为数学中有一种定义，就是数学就是模式化的科学，patterned
8、of Science，有这种说法，因为数学的定义比较多，还有一种是语言的体系，还有人讲数学就是一门关系学，也有一种说法是模式的科学，那么它是一种通过某一事物的变化信息可推知另一事物信息的对应关系的数学模型；强调对函数本质的认识和理解，因此要求在高中数学学习中，现在教材采用的是多次接触、慢慢靠近、螺旋上升，不祈求一锤定音，也不可能一锤定音；第三个就是我们定位和基本要求老师们要关注背景、关注应用、也就是说要从一个学习对象的整体性、思想性上多做思考；最后一个，也是非常重要的，就是对函数的定位和基本要求，我们一定要去关注两种模式，一个就是数学生长的模式，一个就是数学学习的模式，简单的讲，数学也就像个小
9、孩，它从无到有长出来，我们哪怕从坯胎算起，一开始有什么，然后6个月大的坯胎长成什么，慢慢长，后来我们才看见小孩有手，他也有他的固定模式，再一个就是去走近数学这个女神，这座大山也好，也是有一定的学习规律的，所以这两种模式，数学生长的模式和人类学习数学、感知数学、甚至是发现数学、发明数学也是有一定的规律的，这两种模式要求就更高了；第三个就是函数内容的处理有了一些新的变化。一个是特别强调是一个模型，美国的教材函数的内容很简单，一个输入恰好一个输出，when input exact one output，它就把这个叫函数，我看他们的教材对定义域，对这些东西看得特别淡，它就拼命抓住这样一个很核心的东西，
10、所以现在我们也想朝这个方向，强调输入和输出，这个特别是跟我们计算机近代的发展、算法的引入，都是一脉相承地输入和输出。第三个是对背景和应用的思考。当下一些数学与生活的联系，因为生活中有大量的函数，所以我们也增加；第四个就是注重联系，刚才我们前面谈过了，不但是纵向的、数学内部的，还有横向的，比如说我们经常在数学课上讨论物理的话题，这个对小孩的帮助是非常大的。我也做过一些试验，或者物理老师请数学老师去讲一部分数学，我们班级里经常有这种事情，小孩非常开心，这个就是注重联系；第五个就是强调高中数学中多次接触函数概念是逐步加深对它本质的真正理解，以致最后当你看到“函数”这两个字的时候，我们立马就想到什么；
11、看见一个符号f(x)的时候，我们的第一反映是什么？就是x是个输进去的，输到f这个机器里，出来了一个值；最后一点就是与传统的教材，我们现在削弱，而且淡化了一些内容，这个老师新旧教材一比就都能看出来，像那个抽象函数的题，这个求定义域，这个东西未必我们的初衷，因为如果我们让小孩求一个定义域，我总有办法让他错的，我就拼命加根号，加分母，里面再多弄几层，这个实际上是没有多少意义的，所以我们老师应该明白这样一个变化，它的初衷是更好地突出一个本质，主要就是这个，这是第三点。第四点就是三个要素的变化。这个我刚才基本上也已经说了，现在主要强调“对应”，会求一些简单，我强调一下是十分简单的定义域和值域。特别是一开
12、始高一孩子进来，有些学校动不动就上高考题，上高三，把高一的小孩当高三教，这个怎么说呢？就大家都苦了，这个也是违背规律的，所以我们要求是会求一些十分简单的定义域和值域，这也是与原来教材不太一样的地方。第五个就是对“反函数”要求我们也作了变化。弱化了仅以指数函数和对数函数这一对具体函数的关系，告诉学生有这么一回事，以及他将来从这里出发，以这里为起点，再去学其他反函数，就有一个起点，一般不要人为地加深。第六个就是指数、对数、幂函数要求也有了些变化。这个主要是突出背景和应用，特别注意三者的比较，要能够区别开来。比如说，我们在学数学的时候，前几项写出来，孩子有没有一个直观的感觉，这个变化不像线性的变化，
13、就它的增长速度啊，这个变化比线性变化还要慢，会不会考虑它是对数的，或者说它上升地非常快，很陡峭，那我们有没有这个意识，它可能跟指数有一定的联系，这都是强调三者的比较。那么第七个就是函数与微积分。这个就是微积分的研究对象本身就从一开始讲就是函数，两个基础问题，一个就是切线问题，一个是面积的问题，实际上都是跟函数有关的。第二个就是中学生学习微积分的教育价值在哪里？每个老师应该非常清楚，所以说很多老师都不是很能明白我们现在教材里写的一种叫直观式的微积分，在英国教材里这种写法叫直观式的微积分，不是用，柯西跟威尔查斯建立的一种理论，让同学们去感悟，就这么块面积，我们怎么来研究把它切切小，有这么个意识就可
14、以了，就这么个曲线，我们关心射到p点怎么反射，那能不能在p点的这个地方看得很短很短，最后看成是个直的这样一个意识，我们就能进入到现在，而不必在这个严密的理论上。第八个就是上述变化的由来。一个是强调数学的本质和对数学整体的认识；第二个是贴近学生的认知规律，因为现在的高中生是现在的初中生以后接上来的高中生，现在的初中跟二十年前的初中已经有了很大的变化，那么现在的高中学生也是顺其自然，跟过去的高中生不一样了，所以要贴近学生的认知规律；第三个是贴近生活。这个就是函数做这样一个变化的由来。第九个方面就是为什么要讲一些函数的背景？这个就是使学生获得对数学的发生和发展的过程中对它价值慢慢地认识，他也知道不是
15、谁坐在家里，凭空想出来的；第二个一是数学学习的需要，数学学习也是个血脉相连的一个整体。在学习的过程中，不能够碎尸万段，孤立地来看，所以这些概念、结论它们产生的背景都是联系着的，这样呢，我们才能产生学习数学的冲动和欲望，这也是人类感情的需要吧。最后再强调一遍就是两个模式：“数学形成和发展的模式”，小孩怎么长大的，他有规律的，第二个就是人去学习与研究，这个小孩是什么模式，也是有规律的。所以我们每一堂课在备课的时候也好，在教学的时候也好，说得夸张点，每一分钟都要想到这两种模式。第十个就是为什么要讲应用？那么20世纪下半叶以来，数学应用的最大发展是有目共睹的。得科技进步奖的院士，吴文俊，有一句名言：“
16、在非常尖端的领域，往往是数学一锤定音。”老先生就说了这么句话，他前面有好大段文字，意思就是我们很多尖端的搞不过人家，实际上他有句潜台词，就是我们的基础数学可能问题在这里。所以它从正面来讲，很多尖端的领域往往是数学一锤定音。所以数学的应用可以给学生讲一些，他们不一定懂，像ct啊，数目转换，像这个猜想啊对通信网络的影响啊，这些，他不一定是很懂的，分型引起的混沌这些它的应用，就是要告诉学生现在数学的运用已经是非常非常地普及。那么我们国家的数学教育正好有个不足就是：离开了现实领域里，当然这个也不能完全否定，像我们上高中的书，就完全是反的，跟现实连的很紧的。第十一个就是学函数加强知识间的联系。我刚才前面也说了，函数与方程、函数与不等式、函数与数列、函数与算法、函数与微积分，还是要强调螺旋式上升、多次接触、慢慢来，因为教育事需要忍耐的一门事业，任何的急躁都可能适得其反。如何学习高中数学（2）最后一个就是为什么要讲联系？前面我们也反复说了，一个是数学学科特点的需要，不是有句话嘛，是恩格斯还是谁讲的，说：“一门学科他真正用上了数学，才算比
