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1、 绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷）理科数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设，则（ ）A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 3. 已知命题命题，则下列命题中为真命题的是（ ）A. B. C. D.
2、 4. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）A. B. C. D. 5. 在正方体中，P为中点，则直线与所成的角为（ ）A. B. C. D. 6. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）A. 60种B. 120种C. 240种D. 480种7. 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）A. B. C. D. 8. 在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（ ）A. B. C. D. 9. 魏晋时
3、刘徽撰写的海岛算经是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高如图，点，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）A. 表高B. 表高C. 表距D. 表距10. 设，若为函数的极大值点，则（ ）A. B. C. D. 11. 设是椭圆上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（ ）A. B. C. D. 12. 设，则（ ）A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13. 已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_14. 已知向量，若，则_15. 记的内角A，
4、B，C的对边分别为a，b，c，面积为，则_16. 以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_（写出符合要求的一组答案即可）三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17. 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110
5、.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和（1）求，；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）18. 如图，四棱锥底面是矩形，底面，为的中点，且（1）求；（2）求二面角的正弦值19. 记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知（1）证明：数列是等差数列;（2）求的通项公式20. 设函数，已知是函数的极值点（1）求a；（2）设函数证明:21. 已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为（
6、1）求；（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值（二）选考题，共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分选修4-4：坐标系与参数方程（10分）22. 在直角坐标系中，的圆心为，半径为1（1）写出一个参数方程;（2）过点作的两条切线以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程选修4-5：不等式选讲（10分）23. 已知函数（1）当时，求不等式的解集;（2）若，求a的取值范围绝密启用前2021年普通高等学校招生全国统一考试(全国乙卷）理科数学答案注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时，选
7、出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.【详解】设，则，则，所以，解得，因此，.故选：C.2. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】分析可得，由此可得出结论.【
8、详解】任取，则，其中，所以，故，因此，.故选：C.3. 已知命题命题，则下列命题中为真命题的是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由正弦函数的有界性确定命题的真假性，由指数函数的知识确定命题的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于，所以命题为真命题；由于在上为增函数，所以，所以命题为真命题；所以真命题，、为假命题.故选：A4. 设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.【详解】由题意可得，对于A，不是奇函数；对于B，是奇函数；对于C，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，定义
9、域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.5. 在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接，因为，所以或其补角为直线与所成的角，因为平面，所以，又，所以平面，所以，设正方体棱长为2，则，所以.故选：D6. 将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（ ）A. 60种B. 120种C. 240
10、种D. 480种【答案】C【解析】【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，故选：C.【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.7. 把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再
11、把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】解法一：从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；解法二：从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.【详解】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，根据已知得到了函数的图象，所以，令,则,所以,所以；解法二：由已知的函数逆向变换，第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
12、即为的图象，所以.故选：B.【点睛】本题考查三角函数的图象的平移和伸缩变换，属基础题，可以正向变换，也可以逆向变换求解，关键是要注意每一步变换，对应的解析式中都是的变换，图象向左平移个单位，对应替换成,图象向右平移a个单位，对应x替换成,牢记“左加右减”口诀；图象上每个点的横坐标伸长或缩短到原来的k倍，对应解析式中替换成.8. 在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，分别求出对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出【详解】如图
13、所示：设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，其面积为设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，即图中的阴影部分，其面积为，所以故选：B.【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件对应的区域面积，即可顺利解出9. 魏晋时刘徽撰写的海岛算经是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高如图，点，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）A. 表高B. 表高C. 表距D. 表距【答案】A【解析】【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出【
14、详解】如图所示：由平面相似可知，而，所以，而，即故选：A.【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出10. 设，若为函数的极大值点，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.当时，由，画出的图象如下图所示：由图可知，故.当时，由时，画出的图象如下图所示：由图可知，故.综上所述，成立.故选：D【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.11. 设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的
