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1、平面向量题型归纳一向量有关概念：【任何时候写向量时都要带箭头】1向量的概念：既有大小又有方向的量，记作：AB或a。注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线，为什么？（向量可以平移）例：已知A（1,2）, B（4,2）,则把向量AB按向量a二（-1,3）平移后得到的向量是_2向量的模：向量的大小（或长度），记作：I AB I或I a I。3零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；4单位向量:单位向量：长度为1的向量。若e是单位向量，则I e I二1。（与AB共线的单 位向量是丄AB ）；一 I AB I-5相等向量：长度相等且方向相同的两个
2、向量叫相等向量，相等向量有传递性；6 平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：aII b ,规定零向量和任何向量平行。提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合； 平行向量无传递性!（因为有）； 三点A、B、C共线o AB、AC共线；如图在平行四边形ABCD中下列结论中正确的是（）A. AB = CDB. AB - AD 二 BDC. AD + AB = ACD. AD + BC = 07 相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a的
3、相反向量是-a、AB = -BA。 例：下列命题（1）若a| = p则 。口）若 a = b b =，则 a = c。（6）若 a / b, bl/ c , 则a ll c o （ 3 ）若AB = DC，则ABCD是平行四边形。（4 ）若ABCD是平行四边形，则f f AB = DC 其中正确的是题型1、基本概念1：给出下列命题：若| a |二|b |,则a = b :向量可以比较大小；方向不相同的两个向量一定不平行;若a = b , b = c ，贝。a = c ；若a/b , b/c ，贝。a/c ；a = :-a = ； 其中正确的序号是-o2、基本概念判断正误：(1)共线向量就是在同
4、一条直线上的向量。(2)若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。(3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。(4 )四边形ABCD是平行四边形的条件是AB = CD。(5 )若AB = CD，则A、B、C、D四点构成平行四边形。(6 )因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。(7) 若a与b共线，b与c共线，则a与c共线。(8) 若 ma 亍 mb，贝y a = b。一 _( 9)若 ma = na，贝y m = n。(10) 若a与b不共线，贝0与b都不是零向量。一 一(11) 若a-b =1 a I Ib I，贝a/b。( 12 ) 若I a + b 1=1 a-b I，贝a 丄 bo二、
5、向量加减运算8.三角形法则：AB + BC = AC ； AB + BC + CD + DE = AE ； AB AC = CB （扌旨向被减数）以a, b为临边的平行四边形的两条对角线分别为a + b , a - b。题型2向量的加减运算一 一一一1、 化简(AB + MB) + (BO + BC) + OM =。2、 已知I OAI=空OB I=3，则4B I的最大值和最小值分别为、。3、 在平行四边形ABCD中，若AB + AD卜|AB AD，则必有 ()A. AD = 0 B. AB = 0或AD =叶 C. FBCD是矩形D. ABCD 是正方形 题型3向量的数乘运算Z Z。4小心口
6、+朮呱叵田鱼、回K-呂、汽芒呱叵呈皿nRsiits丄 3m + bz)E(q+&z (0)(q + b)z (q + b)E(Tm-R n题型6.向量的坐标运算MlMlMHMlK 设站=(丙二色),则：口 + & =(工+屯 + 乃)：口一右=愆一号，”一乃)；Aa = (lxtAy)2、设耳也仍用(耳jJ,则至=(勺-和儿-y,其实质是将向量的起点移到坐标原点.1、已知 a = (1 4),b = (3,8),则 3a -b 二。2 练习：若物体受二个力F =(山2), F = (23, F = (一1,一4)，则合力的坐标为。1232、 已知PQ = (3, 5) , P(3,7),贝则点
7、Q的坐标是。3、.已知 a = (3,4) , b = (5,2),求a + b , a - b , 3a - 2b。2、已知 A(1,2), B(3,2)，向量a = (x + 2, x 3y 2)与 AB 相等，求x, y 的值。5、已知O是坐标原点，A（2,1）,B（-4,8）,且AB + 3BC = 0，求OC的坐标。三平面向量的基本定理：如果el和e2是同一平面内的两个不共线向量”那么对该平面内 的任一向量a ,有且只有一对实数九、九，使a二九e. +九e2。1 2 1 1 2 2 基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。题型7.判断两个向量能否作为一组基底1已知e ,e是平面内的一
8、组基底，判断下列每组向量是否能构成一组基底：12A. e + e 和 j- eB. 3e - 2e 和4e - 6eC. e + 3e 和e - 3eD. e 和e -e12_2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 2 1练习：下列各组向量中，可以作为基底的是（）， A ， _ A ， A ， A ， A， A， A ， A， A， A ， A （A）e =（0,0）, e =（1,-2）（B） e =（-1,2）, e =（5,7）1 2 1 2（C） e =（3,5）,e =（6,10）（D） e =（2,-3）, e =（L,-）1212242、.已知a = （3,4）,能与a构成基底的
9、是（）34A.(齐)43C.(- 5,-5)D.(-1, - T3知向量e. e2不共线，实数(3x-4y)el + (2x-3y)e2 =6el+3e2，则x-y的值等于*卜，I8IPiI ，F9I84、设e , e是两个不共线的向量，AB二2e + ke , CB二e + 3e , CD二2e e ，若A、1 2 1 2 1 2 1 2B、D三点共线，求k的值.5、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C(x,y)满足oc =a OA+0OB，其中ajBwR且a +=1 ,则x, y所满足的关系式为()L 3x+2y-11=0B . (x-1)2+(y-
10、2)2=5C . 2x-y=0D . x+2y-5=0四平面向量的数量积：1.两个向量的夹角：对于非零向量a , b，作OA = a,OB = b , ZAOB =e(0 00时，九a的方向与a的方向相同，当九0时，九a的方向与a的方向相反，当九二0时，九a = 0 , 注意:九a H0。例1、已知AD,BE分别是AABC的边BC, AC上的中线，且AD = a,BE = b，则BC可用向量a,b表示为例2、已知AABC中点D在BC边上，且CZ? = 2 D，初二r A?+ s TC，则r + s 的值是2 平面向量的数量积:如果两个非零向量a ,，它们的夹角为0，我们把数量I a II b
11、Icos0叫做a与b的数量积(或内积或点积)，记作：a b，即a b二|abcos0。规定：零向量与任一向量的数量积是0,注意数量积是一个实数，不再是一个向量3向量的运算律:1 .交换律：a + b = b + a ,九=(九卩)a , a b = b a ；2 .结合律：a + b + c = (a + bc,a b c = a ( + c ,6a)b = X(a b)= ab)；3 分配律：Q + y)a = Xa + 卩a,九a + b= Xa+ 九b, (a+ b ) c= a c + b c。 题型8:有关向量数量积的判断1:判断下列各命题正确与否：(1) (a + b) + c =
12、 a + (b + c) ;(2)若 a -b = a cb 丰 c 当且仅当 a = 0 时成立；(3) (a + b) c = a c + b c ；(4) (a - b) - c = a - (b - c)对任意 a, b, c 向量都成立；t 心邑卫超一寸|一II咼_、廿宦 J z(q +孕Ht-q + 卫、qbHl、头+氏p丄空邑、(亠疥7芒机一塑84 一 q 一卫 t q b H 00 t - esoo-q-Ellq d :專漿Jlr臂轍 z m叵 0 曲slhhk 一 7IVofm叵 0 冊slhz-(571) H E ML*T一卫【znwaews挥芒JIP】 UssAAt t
13、t t t t t t t t A A f fms潜11 11 b 岀廿MJq + qdzHAq m【2飞 HAqd) - 即e- H -OH 怛槪OH 忙邑、OH 仁佗相【Ag- + -g.w-e A 化H(gB 【化WBH (化B代 【化代化代丄化B代 乡-H-量_雀7。 s&gsHB-ME+ Zulu ( g + 2 ) ss wd4p!J 迴坦灰(9 二 3q VUHqdoE 柳(s)MmAt t t。旺俅s、(aAZTwATb 呈皿Lx t t t t t t t t t 只旺俅sq + bbs q b H q H u血.叵4NZEmqG 口*皿，寸*11 t t to(*+m(q& (寸二 q(ql3(m) (q+mCN)、qu ()愉、09只閏船sqwb皿、寸Jlq-dJIE 一呈皿 寸 z z zt 枷二 IT 只聊俅7川3、+ 4( oTr (一Tb 呈皿 76、已知 A(
