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1、21.5一次函数与二元一次方程的关系1.体会一次函数与二元一次方程的关系.2.感悟数学知识之间的内在联系.3.认识到通过建立两个变量的一次等式(即二元一次方程),就可得到它们之间的一次函数关系.1.通过对一次函数变量变化规律的探究,体会一次函数与二元一次方程的关系.2.经历从“数”与“形”两个角度解决问题的过程,体会数形结合的思想.3.经历探究解决简单问题的过程,培养观察与推理的能力,发现实际问题的求解与解方程的区别与联系.1.通过合作探究解决问题的过程,培养实事求是的科学态度和团队协作的精神.2.通过对数形巧妙关系的探究与认识,提高思维水平,激发学习兴趣.【重点】二元一次方程与一次函数的关系
2、.【难点】理解一次函数与二元一次方程的关系.【教师准备】课件17.【学生准备】复习二元一次方程(组)的有关知识.导入一:【课件1】出示问题:令人瞩目的2008年北京奥运会火炬传递活动中,我国登山队员把奥运火炬举到了世界最高峰珠穆朗玛峰.当时在登山队大本营所在地的气温为6 ,海拔每升高1 km气温下降6 ,登山队员由大本营向上登高x km时,他们所在位置的气温是y .(1)写出y与x的解析式;(2)求出登山队员登高多少千米时气温为0 ?(列方程即可)学生解决两个问题后教师提出问题:请同学们认真观察两个问题的答案,你有何发现呢?结合学生的发现,教师顺势引出本节新课:一次函数与二元一次方程的关系.(
3、板书课题)设计意图利用实际问题进一步研究,不仅让学生认识数学源于生活,而且从熟悉的问题入手,也给同学们一种亲切感,为下面的继续学习做了铺垫.导入二:十七世纪法国数学家笛卡尔有一次生病卧床,他看见屋顶上的一只蜘蛛顺着左右爬行,笛卡尔看到蜘蛛的“表演”猛地灵机一动.他想,可以把蜘蛛看成一个点,它可以上、下、左、右运动,能不能把蜘蛛的位置用一组数确定下来呢?在蜘蛛爬行的启示下,笛卡尔创建了直角坐标系,在坐标系下将几何图形(形)和方程(数)建立联系.笛卡尔坐标系起到了桥梁和纽带的作用,而我们可以把图形化成方程来研究,也可以用图像来研究方程.这节课我们就来研究:一次函数与二元一次方程的关系.(板书课题)
4、设计意图目的是以此引起学生的学习兴趣,并借此调动学生的学习积极性,激励学生的学习意志.活动1二元一次方程与一次函数的关系过渡语一次函数与二元一次方程之间具有密切的联系,用不同的观点解释,二者可以互相转化.情境一:【课件2】(1)方程x+y=1的解有多少个?写出其中的几个.(2)在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点,它们在一次函数y=1-x的图像上吗?(3)在一次函数y=1-x的图像上任取一点,它的坐标适合方程x+y=1吗?(4)以方程x+y=1的解为坐标的所有点组成的图像与一次函数y=1-x的图像相同吗?(5)方程x+y=1与函数y=1-x有何关系?让学生分别讨论这几个问题,教师及时总结:
5、以方程x+y=1的解为坐标的点组成的图像与一次函数y=1-x的图像相同,以二元一次方程的解为坐标的点都在一条直线上.设计意图由情境一可让学生初步体会到二元一次方程与一次函数图像之间内在的密切联系,使学生感受二元一次方程与一次函数图像之间的关系.想一想:对于二元一次方程kx-y=-b和一次函数y=kx+b有什么关系?让学生充分讨论,互相补充,交流思路和想法,达成共识.师生共同小结:一般地,一次函数y=kx+b图像上任意一点的坐标都是二元一次方程kx-y=-b的一个解,以二元一次方程kx-y=-b的解为坐标的点都在一次函数y=kx+b的图像上.让学生讨论“一起探究”第2题和第3题.【课件3】1.以
6、二元一次方程ax+by=c的解为坐标所构成的直线,是不是一次函数y=-x+的图像?请说明理由.2.你认为二元一次方程和一次函数有什么联系与区别?与同学交流你的看法.引导学生讨论,小组内交流各自的看法.总结:以二元一次方程的解为坐标的点都在与它相应的一次函数的图像上;反过来,一次函数图像上的点的坐标都是与它相应的二元一次方程的解.【课件4】练一练:1.方程x+y=4的解有个,以方程x+y=4的解为坐标的点组成一次函数的图像.2.一次函数y=3x+7的图像与y轴的交点坐标是,且该点的横、纵坐标是二元一次方程-2x+by=18的解,则b=.3.一次函数y=kx+2的图像总过定点(0,),二元一次方程
7、kx-y=-2有无数个解,其中必有一个解为.设计意图通过习题的设计,让学生在获得知识之后能灵活地运用新知,达到对知识的巩固,进一步体会二元一次方程的解与一次函数的关系.情境二:动脑筋.【课件5】观察在同一直角坐标系中的y=2x-1与y=-x+的图像,两条直线的交点坐标是,方程组的解是.让学生观察图像,思考后回答.设计意图通过活动探究一次函数与二元一次方程(组)的关系,培养学生要从数和形两个角度考虑数学问题.提高学生认识问题的水平,而且能感受数学的统一美.活动2巩固练习思路一【课件6】1.方程2x+3y=5有多少组解?请填写下表,并把每一组对应值作为点的坐标,在直角坐标系中描出各点.x-2-10
8、122.5y2.在直角坐标系中画出y=-x+的图像.3.以方程2x+3y=5的解为坐标的点是否都在函数y=-x+的图像上?为什么?说明:让学生自己填写表格,然后在练习本上建立平面直角坐标系并画图,思考第3个问题.思路二【课件7】二元一次方程x-2y=0的解有无数个,其中它有一个解为所以在平面直角坐标系中就可以用点(2,1)来表示它的一个解.(1)请在图(1)中的平面直角坐标系中再描出三个以方程x-2y=0的解为坐标的点;(2)过这四个点中的任意两点作直线,你有什么发现?直接写出结果;(3)以方程x-2y=0的解为坐标的点的全体叫做方程x-2y=0的图像.想一想,方程x-2y=0的图像是什么?(
9、直接回答)(4)由(3)的结论,在同一平面直角坐标系中,画出二元一次方程组的图像(画在图(2)中),由这两个二元一次方程的图像,能得出这个二元一次方程组的解吗?请将表示其解的点P标在平面直角坐标系中,并写出它的坐标.解:(1)二元一次方程x-2y=0的解可以为:或所以以方程x-2y=0的解为坐标的点分别为:(2,1),(4,2),.它们在平面直角坐标系中的图像如图(1)所示.(2)由图(1)知四个点在一条直线上.(3)由原方程,得y=,以方程x-2y=0的解为坐标的点的全体叫做方程x-2y=0的图像,方程x-2y=0的图像就是正比例函数y=的图像,正比例函数y=的图像也是经过第一、三象限且过原
10、点的一条直线,方程x-2y=0的图像也是经过第一、三象限且过原点的一条直线.(4)如图(2)所示,P(1,0).点拨:(1)先解出方程x-2y=0的三个解,再在平面直角坐标系中利用描点法解答;(2)根据(1)的图像作答;(3)由方程x-2y=0变形为y=,即正比例函数,根据正比例函数图像的性质回答;(4)方程组的解,即为函数y=-x+1与y=2x-2的图像的交点坐标.设计意图进一步感受二元一次方程(组)与一次函数图像之间的关系,培养数形结合的思想,提高学生解决问题的能力.知识拓展(1)以二元一次方程的解为坐标的点组成的集合是它对应的一次函数所在的直线;一次函数图像上任意一点的坐标是它对应的方程
11、的一组解.(2)二元一次方程组的解是由它对应的两个一次函数图像的交点坐标;两个一次函数图像的交点坐标是其对应的二元一次方程组的解.本节课从二元一次方程的解与一次函数的图像这两个问题入手,从数形结合的角度去研究它们之间的必然联系.并通过活动确认了这两个问题在函数图像上的反映.经历了活动与练习后让我们更熟练地掌握了这种方法.虽然用函数解决方程问题未必简单,但这种数形结合思想在以后学习中有很重要的作用.以二元一次方程ax+by=c(a,b,c为常数,a0,b0)的解为坐标的点在直线y=-x+上,直线y=-x+上的一点的坐标是方程ax+by=c的一组解.以二元一次方程组的解为坐标的点,是直线y1=k1
12、x+b1和y2=k2x+b2在坐标系中的交点的横、纵坐标.在坐标系中两直线y1=k1x+b1和y2=k2x+b2的交点的坐标是二元一次方程组的解.1.若二元一次方程组的解为则直线y=-3x+a和y=2x-的交点坐标为()A.(n,m)B.(m,m)C.(m,n)D.(n,n)解析:二元一次方程组的解就是两个方程对应直线的交点坐标.故选C.2.如图所示的是函数y=kx+b与y=mx+n的图像,求方程组的解对应的点关于原点对称的点的坐标是()A.(4,3)B.(3,-4)C.(-3,4)D.(-3,-4)解析:函数y=kx+b与y=mx+n的图像,同时经过点(3,4),因此x=3,y=4同时满足两
13、个函数的解析式,所以方程组的解为所以点(3,4)关于原点对称的点的坐标是(-3,-4).故选D.3.一次函数y=ax+b的图像经过点(3,5),则方程ax+b=5的解是.解析:根据一次函数与二元一次方程的关系,可知ax+b=5的解是x=3.故填x=3.4.如图所示,直线l1:y=x+1与直线l2:y=mx+n相交于点P(1,b).(1)求b的值;(2)不解关于x,y的方程组请你直接写出它的解.解析:(1)把点(1,b)代入直线l1:y=x+1即可求出b的值;(2)根据两直线的交点即为方程组的解可以确定.解:(1)(1,b)在直线y=x+1上,当x=1时,b=1+1=2.(2)直线l1:y=x+
14、1与直线l2:y=mx+n相交于点P(1,b),方程组的解是5.在同一坐标系内画出一次函数y1=-x+1与y2=2x-2的图像,并根据图像回答下列问题:(1)写出直线y1=-x+1与y2=2x-2的交点坐标;(2)直接写出当x取何值时,y1y2.解析:(1)利用两点法画出图像即可确定交点坐标;(2)根据图像与一元一次不等式的关系即可求解.解:(1)两直线相交时交点的坐标是的解,即所以交点的坐标是(1,0),图像用两点法画即可.y1=-x+1的图像与坐标轴的交点为(0,1),(1,0),y2=2x-2的图像与坐标轴的交点为(0,-2),(1,0),直接连线即可.如图所示.(2)y11.6.在平面
15、直角坐标系中,直线y=-x+4如图所示.(1)在同一坐标系中,作出一次函数y=2x-5的图像;(2)用作图像的方法解方程组:(3)求直线y=-x+4与一次函数y=2x-5的图像及x轴围成的三角形面积.解析:利用图像求方程组的解,即为交点的横、纵坐标,在确定面积时要注意坐标系中两点之间的距离.解:(1)如图所示.(2)由图像看出两直线的交点为P(3,1),所以方程组的解为(3)直线y=-x+4与x轴的交点为(4,0),y=2x-5的图像与x轴的交点为,三角形面积=1=.21.5一次函数与二元一次方程的关系活动1二元一次方程与一次函数的关系情境一情境二活动2巩固练习一、教材作业【必做题】1.教材第108页练习第1,2题.2.教材第
