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1、线性代数期末模拟试题一一、填空（本题20分每小题2分）得分阅卷人1. 设det0 ）为四阶行列式，若M 表示元素a的余子式，A表示元素a的 ij23232323代数余子式，则M为+ A23 =a0a11130a022a0a31332.三阶行列式中只有位于两条对角线上的元素均不为零，则该三阶行列式的所有项中有项不为零，这一结论对阶行列式（填成立或不成立）。3.设a ,a ,a均为3维列向量，记矩阵A = （a ,a ,a ）,记矩阵123123B = (a -2a ,a +a ,a -a )4.设矩阵A =231312 1i 1 4 2、0 3,B =7 2 0-1 2 /k-1 3 1,，则
2、|A| =5.设矩阵A可逆且矩阵C = AB所以矩阵C一定可以由矩阵B经过（填行或列）初等变换而得到。6.设向量组a ,a ,a ,a，若R(a ,a ,a ) = 2,R(a ,a ,a ) = 3,则a 一定可12,341232341以由向量唯一的线性表示。7. 非齐次线性方程组Ax = b有 唯一的解是对应的齐次方程组Ax = 0只有零解的 充分但不必要条件。8. 设3阶矩阵A的行列式A = 0，则矩阵A一定有一个特征值。9. 阶矩阵A有n个特征值1,2, , n, n阶矩阵B与A相似，则B =。10.向量组:T；L P2=土R-1（填是或不是）向量空间R 2 一个规范正交基。二、单项选
3、择（本题10分，每小题2分）注意：请务必将你的选择题的答案按要求填入下表，否则答案无效!题号12345答案序号1.设矩阵A为n阶方阵，则关于非齐次线性方程组Ax = b的解下列说法（） 不正确（A）若方程组有解，则系数行列式网。0 ;（B）若方程组无解，则系数行列式A = 0 ;（C）若方程组有解，则或者有唯一解或者有无穷多解；(D) 系数行列式冈。0是方程组有唯一解的充分必要条件.2。 设A为阶可逆矩阵，下列正确的是()(A) (2A)t = 2At ；(B) (2A)-1= 2A-1 ；(C)(A-1)-1T = (At )-i ;(D) (At )t -i = (A-i)-it。3。奇异
4、方阵经过( )后，矩阵的秩有可能改变。(A) 初等变换；(B)左乘初等矩阵；(C)左、右同乘初等矩阵； (D)和一个单位矩阵相加.4。设非齐次线性方程组Ax = b的系数矩阵A是4x5矩阵，且A的行向量组线性无关，则有()。(A) A的列向量组线性无关；(B) 增广矩阵8的行向量组线性无关；(C) 增广矩阵B的任意4个列向量组线性无关；(D) 增广矩阵B的列向量组线性无关。5 .设M= 2是非奇异矩阵a的一个特征值，则矩阵 仔a 2 Y1有一个特征值为 13)()(A) 4/3；(B) 3/4;(C) 1/2；(D) 1/4。三、计算(2道题，共16分)3 04 02 22 21.设行列式D二
5、0 70 0，求M31 + M32 + M33 + M34 （其中5 3 2 2M31，M32, M33, M34分别是第三行各个元素的对应的余子式)。11111baaa a11111bbaa a222222.计算(n 1)bbbb an-1n-1n-1n-1n -bbbb annnnnn+1四、(本题12分)得分阅卷人(10 1:已知A, B为3阶矩阵，E表示3阶单位阵，且A =0 2 0-1 0 1)(1)求A -1 ； (2)证明矩阵(A - E)为逆矩阵；(3)若矩阵 A , B 满足 AB + E = A2 + B，证明 B = A + E。五、(本题12分) 得分阅卷人问k取何值时
6、,方程组fx + x + 2 x + 3 x = 1 x + 3 x + 6 x + x = 33 x1 - x kx +15 x = 31234x - 5 x -10 x +12 x = 11. 有唯一解;2。有无穷多解，并求通解.六、(本题10分)r得分阅卷人(1:f1:f 3 :f2)132a6-aa -11，2 =5，31，4 =100 /11 r4, & +& =(0, 1, 2, 3，并且 R( A) = 3,试回答：(1)非齐次方程组Ax =P是几元的？(2)若Ax = 0是Ax =P对应的齐次方程组，则写出它的一个基础解系。(3)写出方程组Ax =P的通解。线性代数期末模拟试题
7、二得分阅卷一、填空题(6X4=24分)，将答案填在横线上。一2 21. 若 A = 1 1 0，则 AtA =1 0 0x + x + x = 3x =12312.方程组 x x = 2的唯一解为x =x x + x = 5x =V 12333.000001-10031a 0 0 bb a 0 04.=0 b a 00 0 b a15.若 A = 322 15 2 ,1B I。0,则R(A)= 3x33 16.若 A2 - A = 7E,则At =, (A + 2E)-1 =得分阅卷人二、方程组（12分）当k为何值时，方程组-气-%+ % T2气 + kx2 - 2x3 = 0kx + 2 x
8、 + x = k11231.有唯一解；2.有无穷多解；3.无解.三、（10分）得分阅卷人一2 0设 A = 1 22 30 , C =23 2131.已矢口 AB + B = A 2 E，求B2 .巳知AY =乎+ C，求Y 四、（12分）得分|阅卷人-10 2A =0122 2 0,求正交矩阵。和对角阵A,使Q-1AQ = A0得分阅卷人五、（8分）T一 3k1,a =k,a =323L3JL|A|= 该向量组线性无关的充要条件是k满足k1设向量组a,A = a , a , a 1233 .方程组入乂=0有非零解的充要条件是k满足k=3 ork=-44.若Ax=0的基础解系为1,1, 1T,
9、则k二。六、单项选择题(5X2=10分)得分阅卷人在括号内填上唯一选择项的代号：1设3个同阶方阵A,P, Q分别为对称阵，可逆阵，正交阵，下列四个矩阵变 换中，保持A的秩、行列式的值、特征值和对称性都不变的矩阵变换是().(1)P-1AP = B, (2)PAQ = C, (3)PTAP = F, (4)Q-1AQ = H2. 设A, B均为n阶方阵，在下列各项中只有()正确.(1) 若 AU0，BU0,则 ABU0；(2) 若A和B都是对称矩阵，则AB也是对称矩阵；(3) 若AB不可逆，则A和B都不可逆；(4) 若AB可逆，则A和B都可逆3. 设n阶矩阵A，B，C满足关系式ABC=I，则(2
10、)成立.(1) ACB=I ；(2) BCA=I ； (3) BAC=I ;(4) CBA=I。4. 设A,B =L,则(3)。(1)当mn时，AB可逆； (2)当mn时,AB不可逆；(3)当mn时，AB不可逆；(4)当mn时，AB可逆。5. 设 A = L.,若m n，则().(1) A的列向量组线性无关；(2) A的列向量组线性相关；(3)A的行向量组线性无关；(4) A的行向量组线性相关。七、(12分) 得分阅卷人 设 f(x ,x ,x ,x ) = 5(x2 + x2) + k(x2 + x2 + 2x x ) + 4x xJ 12341 寸 34123 41. 求该二次型对应的对称
11、阵A；2. 当k满足什么条件时A正定?八、证明下列各题（2X6=12分）得分阅卷人1. 证明：若n阶实对称阵A的两个不同的特征值购叩对应的特征向量依次为尸和g, 则p和q正交.2 - 设A和3都是邠介方阵，x为n维向量，r（AB = r（B） = r，则（ABx = 0与Bx = 0同解。线性代数期末模拟试题三一、填空（每小题填对者得4分，填错或不填者一律不得分，共16分）得分阅卷人（其中i丰k ）。1.设a （i，j = 1，2,n）为n阶行列式D的元素，A为元素的代数余子式，则 j ij ija A + a A dF a A =i1k1i 2k 2in kn22.设3阶矩阵A与矩阵000 05 0相似，A的特征值为0 13. 设A为n阶矩阵，若，则称A为正交矩阵。4. n元非齐
