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1、PolytechnicU niversit y1 9 9 7 年 8 月Aug. 1 9 9 7满足协变性的机械能守恒定律的条件刘士元( 基础部)摘 要 机械能守恒定律适用于惯性参照系 ,它应满足协变性的要求 。但是 ,一般来讲机械能守 恒定律并不满足这一要求 。讨论满足协变性的机械能并给出了守恒的充分必要条件 。关键词 :惯性系统 ;协变性 ;哈密顿函数 ;拉格朗日函数中图法分类 :O 3011满足协变性要求的条件机械能守恒定律适用于惯性参照系 ,在某一惯性系中机械能守恒 ,但对于另一惯性系机械能就不一定守恒了 。这是因为势能只决定于始末位置 ,于参照系的变换无关 ,而外力作功与参照系的变换
2、有关 ,也就是说 ,在某一惯性系中有 A 外 = 0 ,而在另一参照系中可能有 A 外 0 ,这 样由系统的功能原理A 外 +A 非保内= E2 - E1可见 ,一般来讲 ,在两个惯性系中机械能守恒定律不能同时满足 ,也就是说不满足协变性的要求 。因此 ,研究在什么条件下机械能守恒定律才满足协变性的要求是非常必要的 。下面来比 较详细地讨论这一问题 。由质点系的功能原理= EA 外 +及 d E/ dt = 0 , E = 恒量 ,得 ,= ( Ek - Ep ) - ( Ek0 +Ep0 )A 非保内dA 外 / d t + d A 非保内 / d t = 0在惯性系 k中动能增量为( m
3、1 v1 2 / 2 + m 2 v2 2 / 2)两惯性系以速度 u 作相对运动 , 则有- ( m 1 v10 2 / 2 +m 2 v20 2 / 2)v10 =其代入式 ( 2) , 得v 10 - u , v20 =v 20 -u , v1 = v 1 - u , v2 = v 2 - u .m 1 ( v 1 - u ) 2 / 2 +m 2 ( v 2 - u) 2 / 2 -m 1 ( v 10 - u) 2 / 2 - m 2 ( v 20 - u) 2 = m 1 ( v 2 - 2 v u + u 2) / 2 + m ( v 2 - 2 v u + u 2) / 2 -
4、m ( v 2 - 2 vu + u 2) / 2 -m ( v 2 - 21 12 2 21 10102 20 ( m 1 v 2/ 2 + m v 2/ 2) - ( m v 2 / 2 + m v 2 / 2) + ( m v + m v ) - ( m v + mv ) u12 21 102 201 102 201 1 2 2见 , 若其与式 ( 1) 相等 ,则有 ( m 1 v 10 +v 20 )( m 1 v 1 +m 2-m 2v 2 ) u = 0于 u是任一常矢量 ,所以有( m 1 v 10 +v 20 )( m 1 v 1 +v 2 ) = 0m 2-m 2正是在 k
5、 系中的动量守恒 。因此系统在 k 系中满足动量守恒条件时 , 就有动条件 , 因而 , 满足协变要求的机械能守恒的充要条件是Fi外= 0d A 外 / d t + d A 非保内 / d t = 0se Hq i考虑到正则是方程= e pie Hp i = -eqi有d H e He H e H e H e H e H( eq e peq e p ) et+H , H = 0=+-d teti ii i即当满足 eH/ et = 0 时 , H 为一运动积分 广义的能量守恒. 由 H = eL q - L , 用广义坐kk eq k标表示的动能表达式为T = T 0 + T 1 + T 2e
6、 ee ensns1ri riri riT 0 =m i ;T =( m= b q ;其中) q k1ik k2et etnet eqi = 1k = 1 i = 1k = 1ke ess1ri ri ( m i) q q : ; ( s 为体系的自由度数) .T 2 =k2 k = 1 l = 1 i = 1eq eqk如果加于质点的约束是稳定的 , 即不显含时间 t , 即 e/ e = 0 , 则 T = T , 又由2ri t eL q= eT q = 2 T , 则有H = T + V = E .kkeq keq kkk在此情况下 , 体系的 H 即为机械能 , 这样得出体系机械能守
7、恒的充要条件为e H/ et = 0e20 r / et = 0ik 系中的动能为 1n2T = m i v i =T 22i = 1k 系中 , 由 vi = v i - u , 有ererssv 2 = ( v - u ) ( v - u ) = ( iqiq- u ) ( i- u)iiikieqkeqikeees ssriririu 2= q k q- 2 q u +ikeqk eqieqkk lk系中系统的动能为n1m i vi 2T= i = 12k 系中的动能增量为eeeen s s1r2 i r1 i q qn s s1r1 i r1 i q = i = 1 k l i = 1
8、 k lm-m2i eqk eqik i2i eqk eqikk系中的动能增量为n s s = i = 1 k leeee1r2 i r2 i q qn s s1r1 i r1 i q qm- i = 1 k lm2i eqkeqik i2i eqk eqikeen sn sr1 ir2 i+ m iq- m i q ukkeqkeqki = 1 ki = 1 k较 和, 可得协变条件为n seen sr1 ir2 iq m i q u = 0 m i-kkeqkeqki = 1 ki = 1 k于 u的任意性 , 有een sn sr1 ir2 iq m i q = 0 m i-kkeqke
9、qki = 1 ki = 1 k即当体系的哈密顿不显含时间 , 且约束是稳定的 , 质点系的动量守恒 , 这时体系的机械能守恒 , 且满足协变性要求 。参考文献1 史玉昌 。势能和机械能守恒定律 。大学物理 。1988 (7 )2 丁俊华 。关于机械能守恒条件问题的来稿综述 。大学物理 。1988 (1 )3 卢圣治 。用牛顿力学方法和分析力学方法分析机械能守恒条件时遇到的一些问题 。大学物理 , 1988 (1 )Con dit ion of the La w of Conservat ion of Mechan icalEnergy Un der Sat isf ying Covarian
10、ceL i u S hi y u a n(Dep t . of Science)AbstractThe law of co nservatio n of mechanical energy is applied to inertial coo rdinate system. A p hysi2 cal law must satisf y t he demand of covariance . But in general , t he law of co nservatio n of mechani2 cal energy doesn t satisf y t he dmand above mentio ned. This paper has discussed t he p ro blem be2fo re mentio ned and given t he ample and essential co nditio n of t he co nservatio n .Key words :inert ial system ; covariance ; Ha milton ian f unct ion ; Lagrangian f unct ionn
