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1、WORD格式可编辑习题55-1如图，一轻绳跨过两个质量为m、半径为r的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为2m和m的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定2滑轮的转动惯量均为mr/2，将由两个定滑轮以及质量为2m和m的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。解：受力分析如图，可建立方程：2mgT22maT1mgmaT(TT)rJ2(TT)1rJa，r2Jmr/21联立，解得：ag411，Tmg8。5-2如图所示，一均匀细杆长为l，质量为m，平放在摩擦系数为的水平桌面上，设开始时杆以角速度0绕过中心O且垂直与桌面的轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）
2、经过多长时间杆才会停止转动。解：（1）设杆的线密度为：ml，在杆上取一小质元dmdx，有微元摩擦力：dfdmggdx，微元摩擦力矩：dMgxdx，考虑对称性，有摩擦力矩：l1M2gxdxmgl；204（2）根据转动定律MJJddt，有：t00MdtJd，0112mgltml，0412t30lg。或利用：MtJJ，考虑到0，012Jml，12有：0t3lg。专业知识 整理分享5-3如图所示，一个质量为m的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M、半径为2R,其转动惯量为MR/2，试求该物体由静止开始下落的过程中，下落速度与时间的关系。解：受力分析
3、如图，可建立方程：mgTmaTRJaR，12JmR22mgMmg联立，解得：aT，M2mM2m考虑到advdt，vt2mgdvdt00M2m，有：v2mgtM2m。5-4轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为M/4，均匀分布在其边缘上，绳子A端有一质量为M的人抓住了绳端，而在绳的另一端B系了一质量为M/4的重物，如图。已知滑轮对O2轴的转动惯量J/4，设人从静止开始以相对绳匀速向上爬MR时，绳与滑轮间无相对滑动，求B端重物上升的加速度？解一：分别对人、滑轮与重物列出动力学方程MgT1人MaAMMT2ga物B44T1RTRJ滑轮22由约束方程:aaRJ,解上述方程组A和MR/4B得到ga.2
4、解二：选人、滑轮与重物为系统，设u为人相对绳的速度，v为重du物上升的速度，注意到u为匀速，0dt，系统对轴的角动量为：1M32LMvRM(uv)R(R)MvRMu442R(B物体)(人)(A物体)而力矩为：M13MgRMgRMgR，44根据角动量定理dL3d3M有：MgR(MvRMuR)，dt4dt2ga。25-5计算质量为m半径为R的均质球体绕其轴线的转动惯量。解：设球的半径为R，总重量为m，体密度43mR3，考虑均质球体内一个微元：dmrdrdd，2sin2sin由定义：考虑微元到轴的距离为rsin2J(rsin)dm，有：2R22J(rsin)rsindrdd00015R22r(1co
5、s)dcos050252mR。5-6一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲度系数k40N/m，当0时弹簧无形变，细棒的质量m，求在0的位置上细棒至少应具有多大的角速度5.0kg，才能转动到水平位置？解：以图示下方的三角桩为轴，从考虑机械能守恒，那么：0090时，0时的机械能为：l1122mg(重力势能)（ml）(转动动能)，223090时的机械能为：12kx2有：l111222mg（ml）kx2232根据几何关系：21.5212(x0.5)，得：3.28 rads15-7如图所示，一质量为m、半径为R的圆盘，可绕O轴在铅直面内转动。若盘自静止下落，略去轴承的摩擦，求：（1）盘到虚
6、线所示的铅直位置时，质心C和盘缘A点的速率；（2）在虚线位置轴对圆盘的作用力。解：（1）设虚线位置的C点为重力势能的零点，下降过程机械能守恒，有：12mgRJ，而213222JmRmRmR2243gRvcR4Rg3v2RA16Rg37（2）2Fmg（重力）mR（向心力）mg，方向向上。y35-8如图所示，长为l的轻杆，两端各固定质量分别为m和2m的小球，杆可绕1水平光滑固定轴O在竖直面内转动，转轴O距两端分别为l32和l3轻杆原来静止在竖直位置。今有一质量为m的小球，以水平速度v与杆下端小球m作对0心碰撞，碰后以12v的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。0解：根据角动量守恒，有：2122
7、ll22mvlmvlm()2m()0032333有：422122(ll)vlvl0099333v02l5-9一质量均匀分布的圆盘，质量为M，半径为R，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为)，圆盘可绕通过其中心O的竖直固定光滑轴转动。开始时，圆盘静止，一质量为m的子弹以水平速度v垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求：（1）子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度；（2）经过多少时间后，圆盘停止转动。(圆盘绕通过O的竖直轴的转动惯量为122MR，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。)解：（1）利用角动量守恒：mvR12MR22mR得：2mv(2mM)R；（2）选微分dmrdrd，其中：面密度M
8、R2，RM2Mgrdmgr2rdrMgRf20R3由MtJ有：f2122MgRt(MRmR)0，32知：2M2mtR4Mg将2mvM2mR代入，即得：t23mvMg。5-10有一质量为m1、长为l的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为的水平桌面上，它可绕通过其端点O且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为m的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端2A相碰撞，设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后的速度分别为v和1v，如图所示。求碰撞后从细棒开2始转动到停止转动的过程所需的时间。(已知棒绕O点的转动惯量12Jml)13解：由碰撞时角动量守恒，考虑到v和1v方向相反，以逆时针为正向，有：212
9、mvlmlmvl，得：2112233m2(vv)12ml1又细棒运动起来所受到的摩擦力矩可由积分求得：lm11Mgxdxmglf10l2，利用MJfddt，有：12tmld013dt10mgl12，得：t2l32m(vv)212gmg1。5-11如图所示，滑轮转动惯量为20，半径为7cm；物体的质量为5kg，.01kgm用一细绳与劲度系数k200N/m的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。求：（1）当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离；（2）物体的速度达最大值时的位置及最大速率。解：（1）设弹簧的形变量为x，下落最大距离为x。max由机械能守恒：122kxm
10、gx，有：maxmax2mgx0.49mmaxk；（2）当物体下落时，由机械能守恒：111222kxmvJmgx，222考虑到vR，有：1112222kxmRJmgx，222d欲求速度最大值，将上式两边对x求导，且令0dx，有：1d2kx(mRJ)2mg2dxd，将0dxmg代入，有：x0.245(m)，k当x0.245m时物体速度达最大值，有：2vmax1mgxkx2212J(m)2r，代入数值可算出：vmax1.31m/s。5-12设电风扇的功率恒定不变为P，叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角速度成正比，比例系数的k，并已知叶片转子的总转动惯量为J。（1）原来静止的电扇通电后t秒时刻的角速
11、度；（2）电扇稳定转动时的转速为多大？（3）电扇以稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继续转多少角度？解：（1）已知Mk，而动力矩MP，f通电时根据转动定律有：MMJfddtJt代入两边积分有：dtd0Pk022kJPt，可求得：(1e)k；（2）见上式，当t时，电扇稳定转动时的转速：P稳定；k（3）断开电源时，电扇的转速为0Pk，只有Mf作用，那么：kJddt，考虑到dddtd，有：0kJ0dd0，得：JJP0kkk。5-13如图所示，物体A放在粗糙的水平面上，与水平桌面之间的摩擦系数为，细绳的一端系住物体A，另一端缠绕在半径为R的圆柱形转轮B上，物体与转轮的质量相同。开始时，物体与转轮皆静止，细绳松弛，若转轮以0绕其转轴转动。试问：细绳刚绷紧的瞬时，物体A的速度多大？物体A运动后，细绳的张力多大？解：（1）细绳刚绷紧的瞬时前后，把物体A和转轮B、绳看成一个系统，系统对转轴圆柱形中心角动量守恒，J0，又vRAA，JRmvJ12mR2103（2）物体A运动后，由牛顿定律：Tmgma（1）对转轮B，由定轴转动定律：TRJ，（2）约束关系：aR（3）可求出：1Tmg。35-14.质量为m的小孩站在半径为R、转
