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1、目 录1、引言12、图像处理22、1 图像平滑22、1、1邻域平均法32、1、2 低通滤波法32、1、3 多图像平均法43、 基于偏微分方程的图像平滑43、1 偏微分方程的概述43、2 基于偏微分方程的图像处理43、3 基于偏微分方程的图像平滑53、3、1 各向同性扩散方程53、4 各向异性扩散方程63、4、1 P-M模型63、4、2 Catte模型74、实验与分析84、1 MATLAB概述84、1、1 MATLAB基础84、1、2 MATLAB 特色84、1、3 MATLAB在图像处理中的应用94、2 实验结果与分析94、2、1 对偏微分方程数值计算94、2、2 实验准备104、2、3 结果
2、与分析104、3 结论135、结束语14附录15参考文献20致谢21ABSTRACT22 基于偏微分方程的图像平滑方法的研究 摘要：随着图像处理领域的迅速发展，图像平滑作为图像处理中的重要环节，也逐渐受到人们的关注。图像平滑的目的主要是消除噪声。本文详细介绍了图像平滑的发展，图像平滑方法按空间域和频率域的分类及各种方法的特点，由于传统的这些方法在去噪的同时会破坏图像的重要特征从而引出了基于偏微分方程的图像平滑方法。本文分别从各向同性扩散方程和各向异性扩散方程对基于偏微分方程的图像平滑方法进行研究，进一步完善图像平滑方法，以达到平滑效果更理想的目的。关键词：偏微分方程；图像平滑；各向同性扩散；各
3、向异性扩散1、引言图像是自然界景物的客观反映，是用各种观测系统以不同形式和手段观测客观世界而获得的，要以直接或间接作用于人眼并进而产生视觉知觉的实体。图像信息不仅包含光通量分布，而且还包含人类视觉的主观感受。随着计算机技术的迅速发展，人们还可以人为地创造出色彩斑斓、千姿百态的各种图像。人类社会已经进入了信息时代，对信息的获取、加工、传输等构成了现代社会的基础性工作。科学研究和统计表明，人类从外界获得的信息约为75%来自视觉系统，也就是从各种图像中获得的。这里图像的定义是比较广泛的，包括照片、图形、视频等等。图像中带有大量的信息，古人云“百闻不如一见”就充分了说明了这个道理。 图像是人类获取和交
4、换信息的主要来源，因此，图像处理的应用领域必然涉及到人类生活和工作的方方面面。从六十年代初开始, 图像处理领域一直在蓬勃发展1。最早期的图像处理是采用模拟处理, 代表性的模拟处理系统是美国密执安大学环境研究院的模拟计算机系统, 主要缺点是速度慢、精度低、处理不灵活、功能少。后来发展了数字图像处理，它是指将图像信号转换成数字信号并利用计算机进行处理的过程。其优点是处理精度高，处理内容丰富，可进行复杂的非线性处理，有灵活的变通能力，一般来说只要改变软件就可以改变处理内容。所以数字图像处理成为了图像处理的发展方向2。除了医学和空间项目的应用外，数字图像处理技术现在已应用于更广泛的范围。计算机程序用于
5、增强对比度或将亮度编码为彩色，以便于解释X射线和用于工业、医学及生物科学等领域的其他图像。地理学用相同或相似的技术从航空和卫星图像中研究污染模式。图像增强和复原过程用于处理不可修复物体的已损图像或者造价昂贵不可复制的实验结果。在考古学领域，使用图像处理方法已成功地复原了的图片，这些图片是丢失或损坏的稀有物品的唯一现有的记录。在物理学和想减领域，计算机技术通常增强如高能等离子和电子显微镜方法等领域的实验图像。图像处理技术也成功地应用在天文学、生物学、核医学、法律实施、国防及工业领域中。目前人们主要研究的是数字图像，如图像的采集、获取、编码、存储、和传输，图像的合成和产生，图像的显示和输出，图像的
6、变换、增强、恢复和重建，图像的分割，特征的提取和测量，图像的分类，图像模型等3。进入二十世纪九十年代，图像技术已经逐步渗透到人类生活和社会发展的各个方面，如多媒体技术，虚拟现实技术等，如今的图像处理技术在不断与网络技术特别是互联网技术相融合4。 基于偏微分方程的图像处理是图像处理领域中的一个重要分支，这方面的研究工作可从Nagao,rudin等关于图像光滑和图像增强的研究以及Koenderink对于图像结构的探索。 图像处理中的两个分支直接影响到了这个学科的最终形成。第一是图像分割，它实际上的是为了把真实世界中的物体从图像中分离出来，同时得到真就的边界。其中Mumford-Shah模型是较为常
7、用的方法。具体算法略。第二是图像滤波，它是所有图像处理方法的前奏。1984年，Koenderink发现了图像信号经过高斯滤波后的结果与热传导方程存在一定的联系。图像滤波需要两个限制条件：对比度不变和仿射不变，满足的偏微分方程只有一个，所谓的AMSS方程。基于偏微分方程的图像处理应用范围几乎覆盖要整个图像处理领域，包括图像识别、图像分割、图像重建、图像边缘提取、图像检索、医学图像处理、彩色图像处理、动态图像分析等。有的研究甚至用到了视觉哲学等的一些结论。一方面，这个领域的发展在应用领域不断拓展，另一方面随着本学科的发展，人们试图用严格的数学理论对现存的图像处理方法进行改造。基于偏微分方程的图像处
8、理在使用偏微分方程理论的同时也推动了偏微分方程理论的以展。我国的研究人员从20世纪90年代中期开始关注这个领域的工作，也获得了大量的研究成果。2、图像处理 图像在生成和传输过程中会受到各种噪声源的干扰和影响，使图像质量变差，使得图像的视觉效果受到严重的影响，对图像后继处理和分析带来很大不便。图像处理中的两个主要分支是图像增强和图像还原。图像增强的空间滤波算法有两种，一是平滑空间滤波，是为了在提取大的目标之前去除图像中的一些琐碎的细节、连接、或者缝隙；二是锐化空间滤波，是为了突出图像中的细节或增强被模糊的细节，这种模糊的产生不是因为错误操作而是特殊图像获取过程中的固有影响，其应用领域很广泛，从电
9、子映像和医学成像到工业检测和系统的制导等。图像还原算法通常是用来处理受到噪声干扰的图像。数字图像的噪声主要来源于图像的获取过程和传输过程。去噪是图像处理领域中最成熟的分支之一，目前已有许多的方法。通过观察噪声图像、考察图像的噪声模型可以知道不必要的细节和一些不光滑的现象。2、1 图像平滑 图像平滑是图像处理中的重要环节，它极大地影响着后继处理的结果。抑制或消除这些噪声而改善图像质量的过程称为图像的平滑。图像平滑的目的是为了消除噪声。图像噪声的来源有三：一为在光电、电磁转换过程中引入的人为噪声；二为大气层电（磁）暴、闪电、电压、浪涌等引起的强脉冲性冲激噪声的干扰；三为自然起伏性噪声，由物理量的不
10、连续性或粒子性所引起，这类噪声又可分成热噪声、散粒噪声等5。一个较好的去除噪声的方法应该是既能消除噪声又不使图像的边缘轮廓和线条变模糊,即在抑制噪声的同时有效地保持空间分辨率6。图像平滑作为图像处理的重要环节，平滑质量的好坏直接影响到后继处理和分析的结果。通过观察噪声图像、考察图像的噪声模型可以知道不必要的细节和一些不光滑的现象，图像平滑算法可以去除图像中原本没有的、由噪声所带来的细节3。 图像平滑的方法有很多，亦可以分为空间域或频率域，亦可以分为全局处理或局部处理，亦可以按线性平滑、非线性平滑和自适应平滑来区别。下面介绍几种简单的图像平滑的方法: 2、1、1邻域平均法 邻域平均法是一种局部空
11、间域处理的算法。设一幅图像f(x,y)为M N 的阵列，平滑处理后得到的图像为g(x,y)。g(x,y)由式（2.1）决定 （2.1）（2.1）式中的x,y=0 , 1 , 2 ， ，N-1, S 是(x,y)点邻域中心点的坐标的集合，但不包括点(x,y)，M 是S 内坐标点的总数。平滑化的图像g(x,y)的每个像素的灰度值由包含在(x,y)的预定邻域中的f(x,y)的几个像素的灰度值的平均值所决定。以上方法简单，计算速度快，但它的主要缺点是在降低噪声的同时使图像产生模糊，邻域越大，模糊越厉害。为了减少这种效应，可以采用阈值法。当一些点和它的邻域内点的灰度的平均值的差不超过规定的阈值时，就仍然
12、保留其原灰度值不变，如果大于阈值时就用它们的平均值来代替该点的灰度值。这样平滑后的图像会比邻域平均法模糊度减少。 2、1、2 低通滤波法 这是一种频域处理法。在分析图像信号的频率特性时，对于一幅图像，它的边缘、跳跃部分以及噪声都代表图像的高频分量，而大面积的背景区和慢变部分则代表图像的低频分量，用频域低通滤波法除去其高频分量就能去掉噪声，从而使图像得到平滑。利用卷积定理，可以写成以下形式 （2.2）其中F(u,v)是含噪图像的傅里叶变换，G(u,v)是平滑后图像的傅里叶变换，H (u,v)是传递函数。利用H(u,v)使F(u,v)的高频分量得到衰减，得到G(u,v)后再经过反变换就得到所希望的
13、平滑图像g(u,v)了。 图 2-1 低通滤波平滑图像的处理框图 由于傅里叶变换的性质决定，这种平滑的方法在处理过程中会产生较严重的模糊和振铃现象5。 2、1、3 多图像平均法 如果一幅图像包含有加性噪声，这些噪声对于每个坐标点是不相关的，并且其平均值为零，在这种情况下就可能采用多图像平均法来达到去掉噪声的目的。设f(x,y)为有噪声图像 ，n(x,y)为噪声，g(x,y)为原始图像，g(x,y)可用（2.3）式表示： （2.3） 多图像平均法是把一系列有噪声的图像f(x,y)叠加起来，然后再取平均值以达到平滑的目的。 当做平均处理的含噪声图像数目增加时，其统计平均值就越接近原始无噪声图像。这
14、种方法在实际应用中的最大困难在于把多幅图像配准起来，以便使相应的像素能正确地对应排列3。3、 基于偏微分方程的图像平滑传统的这些方法在去噪的同时会破坏图像的重要特征，如边缘、纹理等，于是基于偏微分方程的图像平滑方法得到了迅速的发展9。3、1 偏微分方程的概述 偏微分方程概念的引入是科学家研究自然的一个必然结果，因为几乎所有的研究对象，包括天文学、物理学等领域的物体运动、状态变化等都不可能只受到一个因素的影响，它们往往与位置、时间、温度等诸多因素相关，因此必须用偏微分方程才能描述并求解。大多数的偏微分方程都与某个实际问题有密切的联系，或者就是从某个实际问题中导出的。偏微分方程是十分复杂的研究对象
15、，即使是线性的方程，也可以复杂到很难处理的程度，至于非线性方程，人们更加感到，目前大体上还只能分别针对各种具体问题，提出个别的解决办法。在这个过程中，随着偏微分方程研究的内容越来越多、越来越难，各种新方法不断涌现，不断丰富和发展了偏微分方程的研究内容，同时也促进了许多其它数学分支的发展。3、2 基于偏微分方程的图像处理 人们对偏微分方程的研究已经有近 300 年的历史。早期的偏微分方程问题产生于力学、几何、物理等理论学科和实际工程中。近年来，在生命科学、经济学中也出现了大量的偏微分方程问题。正是这些偏微分方程的出现，使得图像处理产生了不同的意义。基于偏微分方程的图像处理是图像处理领域中的一个重要分支。在过去的几年中,基于偏微分方程的图像处理技术在图像分析中成为一个引起众多研究者感兴趣的课题。它能够良好地兼
