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1、专题训练圆的切线证明添辅助线两法 直线与圆相切是圆的重点，也是中考的热点证明、判断或探究直线与圆相切的题目虽然很多，但是在这些众多的题目中只有两种类型类型之一有公共点时，连结圆心与公共点，证垂直当明确要证明的直线与圆有公共点时，连结圆心与公共点，证明此半径与直线垂直，利用“经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线”可证明直线是圆的切线1如图5ZT1所示，已知直线AB经过O上的点C，并且OAOB，CACB.求证：直线AB是O的切线图5ZT12如图5ZT2，AB为O的直径，点E在O上，C为的中点，过点C作直线CDAE，交AE的延长线于点D，连结AC，BC.试判断直线CD与O的位置关系，并
2、说明理由图5ZT23如图5ZT3所示，AB是O的直径，BD是O的弦，延长BD到点C，使DCBD，连结AC，过点D作DEAC，垂足为E.求证：(1)ABAC；(2)DE为O的切线图5ZT34如图5ZT4所示，设AB为O的直径，如果圆上的点D恰使ADCB.求证：直线CD与O相切图5ZT45如图5ZT5，在ABC中，ABAC，点D在BC上，BDDC，过点D作DEAC，垂足为E，O经过A，B，D三点(1)求证：AB是O的直径；(2)判断 DE与O的位置关系，并加以证明；(3)若O的半径为3，BAC60，求DE的长图5ZT5类型之二无公共点时，过圆心作垂线，证明垂线段等于半径欲证直线与圆相切，当直线与圆
3、无公共点时，过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于圆的半径，利用“到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线”可以证明直线是圆的切线6如图5ZT6，在ABC中，CACB，点O在高CH上，ODCA于点D，OECB于点E，以点O为圆心，OD长为半径作O.求证：O与CB相切于点E.图5ZT67如图5ZT7，AB是O的直径，AM，BN分别切O于点A，B，CD分别交AM，BN于点D，C，DO平分ADC.(1)求证：CD是O的切线；(2)若AD4，BC9，求O的半径R.图5ZT78如图5ZT8，有两个同心圆，弦AB，CD相等，AB切小圆于点E.求证：CD是小圆的切线图5ZT8教师详解详析1解析 要证明直线AB是
4、O的切线，由于直线AB与O已有公共点C，所以连结OC，只需要证明OCAB即可证明：如图，连结OC.OAOB，CACB，OAB是等腰三角形，OC是底边AB上的中线，OCAB.又AB经过半径OC的外端点C，直线AB是O的切线(经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线)2解：直线CD与O相切理由：连结OC.解法1：如图，C为的中点，12，OAE21.321，3OAE，OCAD.ADCD，OCCD.又CD经过半径OC的外端点C，直线CD与O相切解法2：如图，C为的中点，12.OCOA，13，23.ADCD，2490，OCD342490，即OCCD.又CD经过半径OC的外端点C，直线CD与O相
5、切3证明：(1)如图，连结AD.AB是O的直径，ADB90.又DCBD，AD是BC的垂直平分线，ABAC.(2)如图，连结OD.O，D分别是AB，BC的中点，OD是ABC的中位线，ODAC.又DEAC，ODDE.又点D在O上，DE为O的切线4证明：连结OD.OBOD，BBDO.AB是O的直径，ADB90，即ADOBDO90.ADCBBDO，ADOADC90，即ODCD.又CD经过半径OD的外端点D，直线CD与O相切(经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线)5解：(1)证明：如图，连结AD，在ABC中， ABAC，BDDC，ADBC，ADB90，AB是O的直径(2)DE与O相切证明：
6、如图，连结OD, AOBO，BDDC，OD是ABC的中位线，ODAC.DEAC， DEOD.又DE经过半径OD的外端点D，DE与O相切(3)ABAC，BAC60，ABC为等边三角形，ABACBC6.设AC与O交于点F，连结BF.AB为O的直径，AFBDEC90，AFCF3，DEBF.D为BC的中点，E为CF的中点，即DE为BCF的中位线在RtABF中，AB6，AF3，根据勾股定理，得BF3 ，则DEBF.6解析 由CACB，且CH垂直于AB，利用等腰三角形“三线合一”得到CH为ABC的角平分线，再由ODCA，OECB，利用角平分线的性质定理得到OEOD，利用切线的判定方法即可得证证明：CACB
7、，点O在高CH上，ACHBCH.ODCA，OECB，ODOE，O与CB相切于点E.7解：(1)证明：如图，过点O作OECD于点E.AM切O于点A，OAAD.又DO平分ADC，OEOA，OE是O的半径，CD是O的切线(2)如图，过点D作DFBC于点F.AM，BN分别切O于点A，B，ADAB，ABBC，四边形ABFD是矩形，ADBF，ABDF.又AD4，BC9，FC945.AM，BN，DC分别切O于点A，B，E，DADE，CBCE，DCADBC4913.在RtDFC中，DC2DF2FC2，DF12，AB12，O的半径R是6.8证明：如图，连结OE，则OEAB(圆的切线垂直于过切点的半径)过点O作OFCD于点F.弦ABCD，OEAB，OFCD，OEOF(在同圆或等圆中，相等的弦对应的弦心距相等)OE是小圆的半径，OF也是小圆的半径，CD是小圆的切线第 页
