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1、用直接积分法计算电流线圈的磁场一目的1. 掌握用直接积分法计算电流线圈的磁场的方法和步骤。2. 编制计算机程序，计算螺线管线圈的磁场，并绘制磁力线分布场图二方法原理这里以恒定磁场问题为例，介绍直接积分法。它是将连续场源效应的叠加予 以等值代替，最终解得待求场量的离散解。换句话说，将连续函数的积分运算用 求和的方法来近似逼近，是直接积分法的关键。1. 轴对称磁场中沿轴线的磁场当空间磁场的分布具有轴对称性质，则被称为轴对称磁场。真空中一载电流I.半径为厂。的环形回路，如图5.3-1所示，就是轴对称磁场的基本计算模型。场点 P 的磁感应强度为图 5.3-2 场源的离散化(1)卩Ir 2 ,00、B=
2、 2r2 + (z - z)23/20磁感应强度 B 的方向是沿 z 轴的正方向的。对于由多匝环形线圈组成的载流螺线管线圈磁场的分析，应用叠加原理，这 时待求磁场可由各个环形载流线圈各自产生的效应叠加求解。即将各匝线圈内的 电流 I 视作集中在截面中心的“电流丝”，但这在导体较粗的情形下会带来一定 的误差。因此，较理想的场源离散化处理方法是：如图 5.3-2 所示，取载流线圈 的外轮廓线为场源周界，且认为场源截面 S 内电流分布均匀，即J=NI/S (2)式中，N是螺线管线圈的总匝数。然后，将截面离散成n个小面积，第i个小面积AS (i=l,2,n)内的电流为i3)AI = JASii把此电流
3、视作集中在AI中心的电流丝。这样，当截面离散为足够数量的小面积 iAS 时，就能保证计算结果具有满意的精度。i需要指出的是：场源离散化的网格的几何形状应力求规格化，以便可由计算 机程序自动生成。对于电流分布不均匀的场源，离散时应使每一网格内的电流尽 可能均匀。场源离散完成后，利用叠加原理和式(1),就可计算出轴线上任一场点P 处的磁感应强度值为nr AI r 2Y 0 i iB= .2r2 + (z - z)23/2(4)i=1ip i2.轴对称磁场中任意场点的磁场容易导出，单个环形载流回路(图 5.3-1 所示)在任意点处磁感应强度各个 分量的计算公式为E(k)-K(k)R I z-z rr
4、2 + r2 + (z-z)2o Br= 2兀 r(r + r)2 + z2i/2 (r -r) + (z-z)2 r 0 0R I10 Bz = 2兀(r + r)2 + (z - z)20r2 -r2 -(z-z)20(r -r) + (z -z)20E (k) + K (k)5)这里,K(k)和E(k)分别为第一类和第二类椭圆积分。它们可分别由以下无穷B =工啊r2兀i=11r (r + r )2 + (z 一z )22 P i PP iB =工啊r2兀i=1其中1(r + r )2 + (z z)22i PP i4r ri Pr2 一 r 2 (z 一 z )2 p PiE (k) +
5、 K (k)(r 一 r ) + (z 一 z )2i pP i（r + r ）2 + （z 一 z ）2i Pi P式中：r ,z为场点的r和z方向的坐标;PPr ,z为离散后的第i个环形电流丝的ii级数计算：兀11*31*3*5K(k)= 1+()2 k 2 + ()2 k 4+()k 6+.222*42*4*6和穴11 * 3k41*3*5 k6E(k )=尹(2)2 k 2 -(丙)2 亍(r)厂式中k值取决于环形回路的几何尺寸与场点位置4r rk 2 =o_（r + r ）2 + （z 一 z J20对于载流螺线管磁场的分析，如前所述，它可看作 N 匝环形载流回路的组合 显然，其磁场
6、分布具有同样的轴对称特征。取过对称轴平面为分析场域。首先， 按照上面所述方法，将场源网格离散化（离散成 n 根电流丝），然后，应用叠加 原理和式（5），求得待求场点处磁感应强度的各个分量分别为r2 + r 2 + (z 一 z )2匕 ppE (k) 一 K (k)(r 一 r ) + (z 一 z )2i pPi半径与 z 坐标，并设环形电流丝的轴线与轴重合。如直接根据式（8）编制程序， 就可求得待求场点处的磁感应强度的解答。3. 轴对称磁场中场图的绘制 利用计算机直接绘制磁力线分布图，原则上可行，但工作量较大。然而，在 轴对称磁场的情况下，通过磁矢位A的数值解却提供了较方便地绘制图的途径。
7、 容易证明，在轴对称磁场中，10 )A =常数该式表明，A等于定值的轨迹即为B线。很明显，依此描述B线自然方便 r得多。但必须指出的是，为使 B 线分布符合定性乃至定量地分析磁场的需要，在作图时，应按-A(A) = C (某一指定值)的原则，描绘相应的B线。 rr为了利用式(-0)所示的关系绘制场图，必须求出磁矢位 A 的数值解。单个环 形载流回路(图 5.3- 所示)在任意点处的磁矢位的计算公式为-0r(1 - 2 k 2)K (k) - E (k)式中的K(k).E(k)和k分别由式(6)和(7)给出。对于载流螺线管的磁矢位的计算，可把其看作是N匝环形载流回路的组合。按照上述计算磁感应强度
8、的方法，线将场源离散成 n 根电流丝，然后，应用叠加原理和式(10),求得待求场点处磁矢位的值为r , zPP r1_i=1(1- k2)K(k) - E(k)这里，k可由式(9)算得。式中: r L 2L P为场点的r与z方向的坐标，r ,z为离散后的第i个环形电流丝的半径与z坐标,ii并设环形电流丝的轴线与z轴重合。三上机作业题5.3-1图所示为一载流螺线管线圈的剖面图。该线圈总匝数 N=1995 匝，通有电流1=0.5 A，线圈的内外半径分别为R =2.7 cm和R =3.26 cm,高度为12h=22.8 cm。根据本节给出的计算方法，制定框图和编制计算程序，且：1) 应用积分公式式(4)，计算载流螺线管线圈轴线上的磁场分布，并与实测 值进行比较。、(2)用计算机描绘出载流螺线管轴线上的变化曲线B(z)。(令线圈的中心为坐 标原点)
